Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем прямоугольного параллилепипеда,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол \(\alpha\) с плоскостью боковой грани и угол \(\beta\) с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна \(h\).
Ответ
\(\frac{h^{3}sin\alpha \sqrt{cos^{2}\beta-sin^{2}\alpha}}{sin^{2}\beta}\)
Решение № 44818:
Для решения задачи о нахождении объема прямоугольного параллелепипеда, где диагональ составляет угол \(\alpha\) с плоскостью боковой грани и угол \(\beta\) с плоскостью основания, при высоте \(h\), выполним следующие шаги:
- Обозначим параллелепипед как \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), где \(AA_1 = h\).
- Пусть \(AC_1 = d\) — диагональ параллелепипеда.
- Углы \(\alpha\) и \(\beta\) заданы следующим образом:
\[
\angle AC_1A_1 = \alpha \quad \text{и} \quad \angle AC_1C = \beta
\]
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACA_1\), где \(\angle ACA_1 = 90^\circ\). Из теоремы Пифагора:
\[
AC = d \cos \alpha
\]
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AC_1C\), где \(\angle ACC_1 = 90^\circ\). Из теоремы Пифагора:
\[
CC_1 = d \sin \beta
\]
- Теперь найдем \(d\) из треугольника \(AA_1C_1\):
\[
d = \frac{h}{\sin \alpha}
\]
- Подставим \(d\) в выражения для \(AC\) и \(CC_1\):
\[
AC = \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha}
\]
\[
CC_1 = \frac{h \sin \beta}{\sin \alpha}
\]
- Объем параллелепипеда \(V\) равен произведению площади основания на высоту:
\[
V = AC \cdot CC_1 \cdot h
\]
- Подставим найденные значения \(AC\) и \(CC_1\):
\[
V = \left(\frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha}\right) \cdot \left(\frac{h \sin \beta}{\sin \alpha}\right) \cdot h
\]
- Упростим выражение:
\[
V = \frac{h^3 \cos \alpha \sin \beta}{\sin^2 \alpha}
\]
Таким образом, объем параллелепипеда равен:
\[
V = \frac{h^3 \cos \alpha \sin \beta}{\sin^2 \alpha}
\]
Ответ:
\[
V = \frac{h^3 \cos \alpha \sin \beta}{\sin^2 \alpha}
\]