Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна \(m\), а угол при основании равен \(\varphi\), вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

Ответ

\(2 \pi m^{2} sin \varphi\)

Решение № 44720:

Для решения задачи о нахождении площади поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника вокруг основания, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Боковая сторона треугольника \(AB = AC = m\).
   • Угол при основании \(\angle BAC = \varphi\).
2. Найдем длину основания треугольника \(BC\).
   • Используем теорему косинусов для нахождения длины \(BC\): \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\varphi)} \]
   • Подставим \(AB = AC = m\): \[ BC = \sqrt{m^2 + m^2 - 2 \cdot m \cdot m \cdot \cos(\varphi)} = \sqrt{2m^2 - 2m^2 \cos(\varphi)} = m \sqrt{2(1 - \cos(\varphi))} \]
3. Найдем высоту треугольника \(h\), опущенную на основание \(BC\).
   • Используем формулу для высоты равнобедренного треугольника: \[ h = m \sin(\varphi) \]
4. Определим поверхность тела, полученного при вращении треугольника вокруг основания \(BC\).
   • Поверхность тела состоит из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен \(h\), и двух боковых поверхностей конусов.
5. Найдем площадь основания конусов.
   • Площадь основания конусов: \[ S_{\text{основания}} = \pi h^2 = \pi (m \sin(\varphi))^2 = \pi m^2 \sin^2(\varphi) \]
6. Найдем площадь боковой поверхности одного конуса.
   • Боковая поверхность одного конуса: \[ S_{\text{боковая одного конуса}} = \pi m \cdot BC = \pi m \cdot m \sqrt{2(1 - \cos(\varphi))} = \pi m^2 \sqrt{2(1 - \cos(\varphi))} \]
7. Найдем полную площадь поверхности тела.
   • Полная площадь поверхности: \[ S_{\text{полная}} = S_{\text{основания}} + 2 \cdot S_{\text{боковая одного конуса}} = \pi m^2 \sin^2(\varphi) + 2 \pi m^2 \sqrt{2(1 - \cos(\varphi))} \]

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника вокруг основания, равна: \[ \boxed{\pi m^2 \sin^2(\varphi) + 2 \pi m^2 \sqrt{2(1 - \cos(\varphi))}} \]