Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с лугой, равной: а) \(180^{\circ}\); б) \(90^{\circ}\); в) \(60^{\circ}\).

Ответ

а) \(60^{\circ}\); б)\(2arcsin \frac{1}{4}\); в)\(2arcsin\frac{1}{6}\)

Решение № 44714:

Для решения задачи о нахождении угла при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной \(180^\circ\), \(90^\circ\) и \(60^\circ\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим конус с радиусом основания \(r\) и длиной образующей \(l\). Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга с радиусом \(l\) и дугой, равной заданному углу \(\theta\).
2. Длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора. То есть, \(2\pi r = l \cdot \theta\), где \(\theta\) в радианах.
3. Пересчитаем углы из градусов в радианы:
   • Для \(\theta = 180^\circ\): \(\theta = \pi\)
   • Для \(\theta = 90^\circ\): \(\theta = \frac{\pi}{2}\)
   • Для \(\theta = 60^\circ\): \(\theta = \frac{\pi}{3}\)
4. Выразим \(r\) через \(l\) и \(\theta\): \[ r = \frac{l \cdot \theta}{2\pi} \]
5. Угол при вершине осевого сечения конуса \(\alpha\) можно найти, используя тангенс угла: \[ \tan \alpha = \frac{r}{h} \] где \(h\) — высота конуса.
6. Высота конуса \(h\) связана с \(l\) и \(r\) через Пифагорову теорему: \[ l^2 = r^2 + h^2 \] откуда \[ h = \sqrt{l^2 - r^2} \]
7. Подставим \(r\) и \(h\) в выражение для \(\tan \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\frac{l \cdot \theta}{2\pi}}{\sqrt{l^2 - \left(\frac{l \cdot \theta}{2\pi}\right)^2}} \] упростим: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{l \cdot \theta}{2\pi}}{l \sqrt{1 - \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2}} = \frac{\theta}{2\pi \sqrt{1 - \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^2}} \]
8. Найдем \(\alpha\) для каждого значения \(\theta\):
   • Для \(\theta = \pi\): \[ \tan \alpha = \frac{\pi}{2\pi \sqrt{1 - \left(\frac{\pi}{2\pi}\right)^2}} = \frac{\pi}{2\pi \sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{\pi}{2\pi \sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{\pi}{2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \alpha = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ \]
   • Для \(\theta = \frac{\pi}{2}\): \[ \tan \alpha = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi \sqrt{1 - \left(\frac{\pi}{4\pi}\right)^2}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi \sqrt{1 - \frac{1}{16}}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi \sqrt{\frac{15}{16}}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \] \[ \alpha = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right) \approx 14.036^\circ \]
   • Для \(\theta = \frac{\pi}{3}\): \[ \tan \alpha = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi \sqrt{1 - \left(\frac{\pi}{6\pi}\right)^2}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi \sqrt{1 - \frac{1}{36}}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi \sqrt{\frac{35}{36}}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}} = \frac{1}{\sqrt{35}} \] \[ \alpha = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{35}}\right) \approx 9.273^\circ \]

Таким образом, углы при вершине осевого сечения конуса для заданных разверток сектора равны:

• Для \(\theta = 180^\circ\): \(\alpha = 30^\circ\)
• Для \(\theta = 90^\circ\): \(\alpha \approx 14.036^\circ\)
• Для \(\theta = 60^\circ\): \(\alpha \approx 9.273^\circ\)