Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой \(\alpha\). Найдите \(\alpha\), если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.

Ответ

\(\alpha=216^{\circ}\)

Решение № 44712:

Для решения задачи найдем угол \(\alpha\), который образует дуга сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса. Высота конуса \(H = 4\) см, радиус основания \(r = 3\) см. Выполним следующие шаги:

1. Найдем длину образующей конуса \(l\). Образующая конуса определяется по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{H^2 + r^2} \] Подставим значения \(H\) и \(r\): \[ l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
2. Найдем длину дуги окружности, которая является разверткой боковой поверхности конуса. Длина дуги равна длине окружности основания конуса: \[ \text{Длина окружности основания} = 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \text{ см} \]
3. Длина окружности, радиус которой равен длине образующей конуса, равна: \[ 2\pi l = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ см} \]
4. Угол \(\alpha\) в радианах, который соответствует дуге длиной \(6\pi\) см на окружности радиуса \(l = 5\) см, определяется как отношение длины дуги к радиусу: \[ \alpha = \frac{\text{Длина дуги}}{\text{Радиус}} = \frac{6\pi}{5} \]
5. Переведем угол \(\alpha\) из радиан в градусы. Используем формулу перевода радиан в градусы: \[ \alpha \text{ (в градусах)} = \alpha \text{ (в радианах)} \times \frac{180}{\pi} \] Подставим значение \(\alpha\): \[ \alpha \text{ (в градусах)} = \frac{6\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = \frac{6 \times 180}{5} = \frac{1080}{5} = 216 \text{ градусов} \]

Таким образом, угол \(\alpha\), который образует дуга сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса, равен \(216\) градусов. Ответ: \(216\) градусов.