Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основанием конуса с вершиной \(P\) является круг радиуса \(r\) с центром \(O\). Докажите, что если секущая плоскость \(\alpha\) перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром \(O_{1}\) радиуса \(r_{1}\), где \(O_{1}\) - точка пересечения плоскости \(\alpha\) с осью \(PO\), а \(r_{1}=\frac{PO_{1}}{PO}r\) (см. рис. Geometr-10,11_22.png)

Ответ

NaN

Решение № 44710:

Для доказательства того, что сечение конуса плоскостью \(\alpha\), перпендикулярной оси конуса, представляет собой круг с центром \(O_{1}\) и радиусом \(r_{1}\), где \(O_{1}\) — точка пересечения плоскости \(\alpha\) с осью \(PO\), и \(r_{1}=\frac{PO_{1}}{PO}r\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим конус с вершиной \(P\) и основанием, представляющим собой круг радиуса \(r\) с центром \(O\).
2. Пусть плоскость \(\alpha\) перпендикулярна оси конуса \(PO\) и пересекает её в точке \(O_{1}\).
3. Рассмотрим произвольную точку \(A\) на окружности основания конуса и её проекцию \(A_{1}\) на плоскость \(\alpha\).
4. Так как плоскость \(\alpha\) перпендикулярна оси конуса \(PO\), линия \(AA_{1}\) будет параллельна \(PO\).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(POA\), где \(PA\) — образующая конуса, \(PO\) — высота конуса, а \(OA\) — радиус основания конуса.
6. Так как \(O_{1}\) — точка пересечения плоскости \(\alpha\) с осью \(PO\), то \(O_{1}A_{1}\) будет радиусом сечения конуса плоскостью \(\alpha\).
7. Из подобия треугольников \(POA\) и \(PO_{1}A_{1}\) (так как \(AA_{1}\) параллельна \(PO\)) следует, что: \[ \frac{O_{1}A_{1}}{OA} = \frac{PO_{1}}{PO} \]
8. Подставим значения: \[ \frac{r_{1}}{r} = \frac{PO_{1}}{PO} \]
9. Отсюда получаем: \[ r_{1} = \frac{PO_{1}}{PO}r \]
10. Таким образом, сечение конуса плоскостью \(\alpha\) представляет собой круг с центром \(O_{1}\) и радиусом \(r_{1}\), где \(r_{1} = \frac{PO_{1}}{PO}r\).

Таким образом, доказано, что сечение конуса плоскостью \(\alpha\), перпендикулярной оси конуса, представляет собой круг с центром \(O_{1}\) и радиусом \(r_{1}\), где \(r_{1} = \frac{PO_{1}}{PO}r\). Ответ: доказано.