Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной \(2r\). Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а)\(30^{\circ}\); б)\(45^{\circ}\)\); в)\(60^{\circ}\).

Ответ

а) \(r^{2}\); б) \(r^{2}\sqrt{2}\); в) \(r^{2}\sqrt{3}\)

Решение № 44705:

Для решения задачи о нахождении площади сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между которыми равен \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\), выполним следующие шаги:

1. Определим параметры конуса:
   • Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной \(2r\).
   • Радиус основания конуса \(r\).
   • Высота конуса \(h\).
2. Найдем высоту конуса \(h\):
   • Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной \(2r\) и высотой \(h\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения высоты конуса: \[ h = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = \sqrt{4r^2 - r^2} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3} \]
3. Рассмотрим сечение конуса, проведенное через две образующие, угол между которыми равен \(\alpha\):
   • Угол между образующими \(\alpha\) образует искомое сечение.
   • Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием \(2r\) и углом при вершине \(\alpha\).
4. Найдем площадь сечения:
   • Площадь равнобедренного треугольника с основанием \(2r\) и углом при вершине \(\alpha\) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]
   • Высота треугольника из вершины на основание: \[ \text{высота} = r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]
   • Площадь сечения: \[ S = \frac{1}{2} \times 2r \times r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r^2 \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]
5. Найдем площадь сечения для каждого угла:
   • Для \(\alpha = 30^\circ\): \[ S = r^2 \cdot \tan\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = r^2 \cdot \tan(15^\circ) \] Используя значение \(\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}\): \[ S = r^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) \]
   • Для \(\alpha = 45^\circ\): \[ S = r^2 \cdot \tan\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = r^2 \cdot \tan(22.5^\circ) \] Используя значение \(\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1\): \[ S = r^2 \cdot (\sqrt{2} - 1) \]
   • Для \(\alpha = 60^\circ\): \[ S = r^2 \cdot \tan\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = r^2 \cdot \tan(30^\circ) \] Используя значение \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\): \[ S = r^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r^2}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, площади сечений конуса для углов \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\) соответственно равны:

1. \(S = r^2 \cdot (2 - \sqrt{3})\)
2. \(S = r^2 \cdot (\sqrt{2} - 1)\)
3. \(S = \frac{r^2}{\sqrt{3}}\)