Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Площадь поверхности цилиндра,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Из квадрата, диагональ которого равна \(d\), свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

Ответ

\(\frac{d^{2}}{8 \pi}\)

Решение № 44698:

Для решения задачи о нахождении площади основания цилиндра, который свёрнут из квадрата с диагональю \(d\), выполним следующие шаги:

1. Запишем диагональ квадрата: \(d\).
2. Найдём сторону квадрата \(a\) через диагональ \(d\). По теореме Пифагора для квадрата: \[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \] Отсюда: \[ a^2 = \frac{d^2}{2} \] \[ a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]
3. Сторона квадрата \(a\) равна высоте цилиндра \(h\): \[ h = a = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]
4. Длина окружности основания цилиндра равна периметру квадрата, то есть: \[ 2\pi r = 4a \] Отсюда: \[ r = \frac{4a}{2\pi} = \frac{2a}{\pi} \]
5. Подставим \(a\) в выражение для радиуса: \[ r = \frac{2 \left(\frac{d\sqrt{2}}{2}\right)}{\pi} = \frac{d\sqrt{2}}{\pi} \]
6. Найдём площадь основания цилиндра \(S_{\text{осн}}\): \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d\sqrt{2}}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{d^2 \cdot 2}{\pi^2} = \frac{2d^2}{\pi} \]

Таким образом, площадь основания цилиндра равна: \[ S_{\text{осн}} = \frac{2d^2}{\pi} \] Ответ: \(\frac{2d^2}{\pi}\)