Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Площадь поверхности цилиндра,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен \(\varphi\), диагональ равна \(d\). Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.
Ответ
\(S_{бок}=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi\), \(S_{цил}=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi +\frac{1}{2\pi}d^{2}sin^{2}\frac{\varphi}{2}\) или \(S_{цил}=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi +\frac{1}{2\pi}d^{2}cos^{2}\frac{\varphi}{2}\)
Решение № 44697:
Для решения задачи о нахождении площадей боковой и полной поверхностей цилиндра, зная угол между диагоналями развертки боковой поверхности и длину диагонали, выполним следующие шаги:
- Запишем известные данные:
- Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра: \(\varphi\).
- Длина диагонали: \(d\).
- Найдем радиус \(r\) основания цилиндра и высоту \(h\) цилиндра:
- Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник с основаниями, равными длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.
- Длина диагонали \(d\) связана с радиусом \(r\) и высотой \(h\) цилиндра через Пифагорову теорему:
\[
d^2 = (2r)^2 + h^2
\]
- Угол \(\varphi\) между диагоналями развертки можно использовать для нахождения отношения высоты к диаметру основания:
\[
\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{h}{2r}
\]
- Выразим \(h\) через \(r\) и \(\varphi\):
- Из выражения для тангенса:
\[
h = 2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]
- Подставим \(h\) в уравнение для диагонали:
-
\[
d^2 = (2r)^2 + \left(2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)^2
\]
- Упростим:
\[
d^2 = 4r^2 + 4r^2 \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]
-
\[
d^2 = 4r^2 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)
\]
- Выразим \(r^2\):
\[
r^2 = \frac{d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}
\]
- Найдем площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}}\):
- Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:
\[
S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot h
\]
- Подставим \(h = 2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\):
\[
S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot 2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 4\pi r^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]
- Подставим \(r^2\):
\[
S_{\text{бок}} = 4\pi \left(\frac{d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}\right) \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]
- Упростим:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]
- Найдем площадь полной поверхности цилиндра \(S_{\text{полн}}\):
- Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований:
\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}
\]
- Площадь одного основания:
\[
S_{\text{осн}} = \pi r^2
\]
- Подставим \(r^2\):
\[
S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}\right)
\]
- Упростим:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{\pi d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}
\]
- Подставим \(S_{\text{бок}}\) и \(S_{\text{осн}}\) в выражение для полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} + 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}
\]
- Упростим:
\[
S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} + \frac{\pi d^2}{2 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}
\]
- Объединим дроби:
\[
S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]
Таким образом, площади боковой и полной поверхностей цилиндра равны:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]
\[
S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]