Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Площадь поверхности цилиндра,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в \(120^{\circ}\). Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна \(h\), а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно \(d\)
Ответ
\(2\sqrt{3}dh\)
Решение № 44688:
Для решения задачи о нахождении площади сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, выполним следующие шаги:
- Запишем условие задачи:
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в \(120^\circ\). Высота цилиндра равна \(h\), а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно \(d\).
- Определим радиус основания цилиндра:
Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\).
- Найдем длину хорды, отсекаемой дугой в \(120^\circ\):
Дуга в \(120^\circ\) соответствует центральному углу \(120^\circ\). Длина хорды \(AB\), отсекаемой этим углом, может быть найдена с использованием формулы хорды:
\[
AB = 2r \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 2r \sin(60^\circ) = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}
\]
- Определим форму сечения:
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра \(h\), а ширина равна длине хорды \(AB\).
- Найдем площадь сечения:
Площадь сечения \(S\) равна произведению высоты \(h\) на длину хорды \(AB\):
\[
S = h \cdot AB = h \cdot r\sqrt{3}
\]
- Выразим радиус \(r\) через расстояние \(d\):
Поскольку расстояние \(d\) — это расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости, и оно равно половине хорды, то:
\[
d = \frac{AB}{2} = \frac{r\sqrt{3}}{2}
\]
Отсюда:
\[
r = \frac{2d}{\sqrt{3}}
\]
- Подставим выражение для \(r\) в формулу площади:
\[
S = h \cdot \left(\frac{2d}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{3} = h \cdot 2d = 2dh
\]
Таким образом, площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна \(2dh\).
Ответ: \(2dh\)