Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Площадь поверхности цилиндра,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как \(\sqrt{3}\pi:4\). Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Ответ

а) \(30^{\circ}\); б) \(60^{\circ}\)

Решение № 44680:

Для решения задачи о цилиндре, где площадь основания относится к площади осевого сечения как \(\sqrt{3}\pi:4\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{ос.сеч}}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \]
2. Выразим площади основания и осевого сечения через радиус \(R\) и высоту \(H\) цилиндра: \[ S_{\text{осн}} = \pi R^2 \] \[ S_{\text{ос.сеч}} = 2RH \]
3. Подставим выражения для площадей в условие задачи: \[ \frac{\pi R^2}{2RH} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \]
4. Упростим уравнение: \[ \frac{R}{2H} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]
5. Решим уравнение относительно \(R\) и \(H\): \[ \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
6. Найдем угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания. Пусть \( \alpha \) — угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания. Тогда: \[ \tan(\alpha) = \frac{H}{R} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \alpha = \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \]
7. Найдем угол между диагоналями осевого сечения. Пусть \( \beta \) — угол между диагоналями осевого сечения. Тогда: \[ \tan(\beta) = \frac{2H}{R} = \frac{4}{\sqrt{3}} \] \[ \beta = \arctan\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \]

Таким образом, решение задачи:

1. Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания: \[ \alpha = \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \]
2. Угол между диагоналями осевого сечения: \[ \beta = \arctan\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \]