Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.

Ответ

NaN

Решение № 44370:

Для доказательства того, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим правильную пирамиду с основанием \(ABC\) и вершиной \(D\). Пусть \(O\) — центр основания \(ABC\), \(DO\) — высота пирамиды, а \(DE\) — высота боковой грани \(ADB\), где \(E\) — середина стороны \(AB\).
2. Плоскость, проходящая через высоту пирамиды \(DO\) и высоту боковой грани \(DE\), пересекает основание \(ABC\) по прямой \(OE\).
3. Так как \(O\) — центр правильного треугольника \(ABC\), прямая \(OE\) является медианой треугольника \(ABC\) и перпендикулярна стороне \(AB\).
4. В треугольнике \(ADE\), прямая \(OE\) является высотой, проведенной из вершины \(E\) на сторону \(AD\). Следовательно, \(OE\) перпендикулярна \(AD\).
5. Таким образом, прямая \(OE\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AD\), лежащим в плоскости боковой грани \(ADB\).
6. Согласно теореме о перпендикуляре к плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая \(OE\) перпендикулярна плоскости боковой грани \(ADB\).
7. Поскольку прямая \(OE\) лежит в плоскости, проходящей через высоту пирамиды \(DO\) и высоту боковой грани \(DE\), эта плоскость также перпендикулярна плоскости боковой грани \(ADB\).

Таким образом, плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.