Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В правильной треугольной пирамиде \(DABC\) через боковое ребро \(DC\) и высоту \(DO\) пирамиды проведена плоскость \(\alpha\). Докажите, что: а) ребро \(AB\) перпендикулярно к плоскости \(\alpha\); б) перпендикуляр, проведенный из вершины \(C\) к апофеме грани \(ADB\), является перпендикуляром к плоскости \(ADB\).

Ответ

NaN

Решение № 44368:

Для решения задачи о правильной треугольной пирамиде \(DABC\) и плоскости \(\alpha\), проходящей через боковое ребро \(DC\) и высоту \(DO\), выполним следующие шаги: ### а) Доказать, что ребро \(AB\) перпендикулярно к плоскости \(\alpha\):

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду \(DABC\) с вершиной \(D\) и основанием \(ABC\).
2. Обозначим \(O\) как центр правильного треугольника \(ABC\), который является ортогональной проекцией вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\).
3. Плоскость \(\alpha\) проходит через боковое ребро \(DC\) и высоту \(DO\).
4. Поскольку \(DO\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то \(DO\) является высотой пирамиды.
5. Рассмотрим треугольник \(DAB\). Поскольку \(DABC\) является правильной треугольной пирамидой, треугольник \(DAB\) является равносторонним.
6. В равностороннем треугольнике \(DAB\) медиана \(DO\) является также высотой и биссектрисой, что означает, что \(DO\) перпендикулярна \(AB\).
7. Так как \(DO\) лежит в плоскости \(\alpha\) и перпендикулярна \(AB\), то ребро \(AB\) перпендикулярно плоскости \(\alpha\).

### б) Доказать, что перпендикуляр, проведенный из вершины \(C\) к апофеме грани \(ADB\), является перпендикуляром к плоскости \(ADB\):

1. Рассмотрим апофему \(DM\) грани \(ADB\), где \(M\) — середина ребра \(AB\).
2. Поскольку \(DABC\) является правильной треугольной пирамидой, апофема \(DM\) является высотой равностороннего треугольника \(DAB\).
3. Рассмотрим перпендикуляр \(CP\), проведенный из вершины \(C\) к апофеме \(DM\).
4. Поскольку \(DM\) является высотой равностороннего треугольника \(DAB\), апофема \(DM\) перпендикулярна основанию \(AB\).
5. Так как \(CP\) перпендикулярен \(DM\) и лежит в плоскости \(DAB\), то \(CP\) является перпендикуляром к плоскости \(DAB\).
6. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из вершины \(C\) к апофеме грани \(ADB\), является перпендикуляром к плоскости \(ADB\).

Таким образом, мы доказали оба утверждения: - Ребро \(AB\) перпендикулярно к плоскости \(\alpha\). - Перпендикуляр, проведенный из вершины \(C\) к апофеме грани \(ADB\), является перпендикуляром к плоскости \(ADB\).