Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Высота правильной треугольной пирамиды равна \(h\), а двугранный угол при стороне основания равен \(45^{\circ}\). Найдите площадь поверхности пирамиды.
Ответ
\(3\sqrt{3}\left ( 1+\sqrt{2} \right )h^{2}\)
Решение № 44365:
Для решения задачи о нахождении площади поверхности правильной треугольной пирамиды с высотой \(h\) и двугранным углом при стороне основания \(45^\circ\) выполним следующие шаги:
- Запишем условия задачи:
- Высота пирамиды \(h\).
- Двугранный угол при стороне основания \(45^\circ\).
- Определим геометрические характеристики пирамиды:
- Пусть \(SABC\) — правильная треугольная пирамида с вершиной \(S\) и основанием \(ABC\).
- Пусть \(SD\) — высота пирамиды, где \(D\) — центр основания \(ABC\).
- Пусть \(AD\) — апофема боковой грани \(ASB\).
- Выразим сторону основания \(a\) через высоту \(h\) и угол \(45^\circ\):
- В треугольнике \(ASD\) угол \( \angle SAD = 45^\circ \).
- Используем тригонометрическое соотношение:
\[
\tan(45^\circ) = \frac{SD}{AD} = 1
\]
откуда
\[
AD = SD = h
\]
- Найдем длину стороны основания \(a\):
- В треугольнике \(ABD\) угол \( \angle ADB = 90^\circ \).
- Используем Пифагорову теорему:
\[
a = 2 \cdot AD = 2 \cdot h
\]
- Вычислим площадь основания \(S_{осн}\):
- Площадь правильного треугольника с стороной \(a\):
\[
S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2h)^2 \sqrt{3}}{4} = h^2 \sqrt{3}
\]
- Вычислим площадь боковой грани \(S_{бок}\):
- Площадь одной боковой грани (треугольника с основанием \(a\) и высотой \(h\)):
\[
S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2h \cdot h = h^2
\]
- Поскольку у пирамиды три боковые грани:
\[
S_{бок, все} = 3 \cdot h^2
\]
- Найдем полную площадь поверхности пирамиды \(S_{полн}\):
- Сумма площадей основания и боковых граней:
\[
S_{полн} = S_{осн} + S_{бок, все} = h^2 \sqrt{3} + 3h^2 = h^2 (\sqrt{3} + 3)
\]
Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна \(h^2 (\sqrt{3} + 3)\).
Ответ: \(h^2 (\sqrt{3} + 3)\)