Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна \(m\), а плоский угол при вершине равен \(\alpha \). Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Ответ

а) \(\frac{m cos\alpha }{2 sin\frac{\alpha }{2}}\); б) \(\frac{m}{2 sin \frac{\alpha }{2}}\); в) \(arccos \left ( tg\frac{\alpha}{2} \right )\); г) \(2 arcsin \left ( \frac{\sqrt{2}}{2 cos \frac{\alpha}{2}} \right )\)

Решение № 44364:

Для решения задачи о правильной четырехугольной пирамиде с основанием стороной \(m\) и плоским углом при вершине \(\alpha\), выполним следующие шаги: ### а) Высота пирамиды

1. Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду с вершиной \(S\) и основанием \(ABCD\).
2. Сторона основания \(AB = m\).
3. Пусть \(O\) — центр основания. Тогда \(AO = \frac{m\sqrt{2}}{2}\).
4. Плоский угол при вершине \(\angle SAB = \alpha\).
5. Высота \(SO\) пирамиды является катетом прямоугольного треугольника \(SAO\), где гипотенуза \(SA\) — боковое ребро пирамиды.
6. Используем тангенс угла \(\alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{SO}{AO} \]
7. Подставим значение \(AO\): \[ \tan \alpha = \frac{SO}{\frac{m\sqrt{2}}{2}} \]
8. Решим уравнение относительно \(SO\): \[ SO = \frac{m\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \]

### б) Боковое ребро пирамиды

1. Боковое ребро пирамиды \(SA\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(SAO\).
2. Используем теорему Пифагора: \[ SA^2 = SO^2 + AO^2 \]
3. Подставим значения \(SO\) и \(AO\): \[ SA^2 = \left(\frac{m\sqrt{2}}{2} \tan \alpha\right)^2 + \left(\frac{m\sqrt{2}}{2}\right)^2 \]
4. Упростим выражение: \[ SA^2 = \frac{m^2}{2} \tan^2 \alpha + \frac{m^2}{2} \]
5. Вынесем общий множитель: \[ SA^2 = \frac{m^2}{2} (\tan^2 \alpha + 1) \]
6. Используем тригонометрическое тождество \(\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha\): \[ SA^2 = \frac{m^2}{2} \sec^2 \alpha \]
7. Решим уравнение относительно \(SA\): \[ SA = \frac{m}{\sqrt{2}} \sec \alpha \]

### в) Угол между боковой гранью и плоскостью основания

1. Рассмотрим треугольник \(SAO\).
2. Угол \(\beta\) между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между \(SO\) и \(AO\).
3. Используем котангенс угла \(\beta\): \[ \cot \beta = \frac{SO}{AO} \]
4. Подставим значения \(SO\) и \(AO\): \[ \cot \beta = \frac{\frac{m\sqrt{2}}{2} \tan \alpha}{\frac{m\sqrt{2}}{2}} \]
5. Упростим выражение: \[ \cot \beta = \tan \alpha \]
6. Таким образом, угол \(\beta\) равен: \[ \beta = \arccot(\tan \alpha) \]

### г) Двугранный угол при боковом ребре пирамиды

1. Двугранный угол при боковом ребре \(SA\) образован двумя боковыми гранями \(SAB\) и \(SAD\).
2. Этот угол является удвоенным углом между боковой гранью и плоскостью основания.
3. Таким образом, двугранный угол равен: \[ 2\beta \]

Таким образом, решения задачи:

1. Высота пирамиды: \(SO = \frac{m\sqrt{2}}{2} \tan \alpha\)
2. Боковое ребро пирамиды: \(SA = \frac{m}{\sqrt{2}} \sec \alpha\)
3. Угол между боковой гранью и плоскостью основания: \(\beta = \arccot(\tan \alpha)\)
4. Двугранный угол при боковом ребре пирамиды: \(2\beta\)