Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен \(\varphi\). Найдите высоту этой пирамиды.
Ответ
\(\frac{4}{tg\frac{\varphi}{2}}\sqrt{1-\frac{1}{3}tg^{2}\frac{\varphi}{2}} \)
Решение № 44363:
Для решения задачи найти высоту правильной треугольной пирамиды с основанием, сторона которого равна 8 см, и плоским углом при вершине равным \(\varphi\), выполним следующие шаги:
- Запишем данные задачи:
- Сторона основания \(a = 8\) см.
- Плоский угол при вершине \(\varphi\).
- Определим половину стороны основания:
\[
\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}
\]
- Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды \(h\), половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) и апофемой пирамиды \(l\).
- В этом треугольнике угол при вершине равен \(\varphi\).
- Апофема \(l\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(\frac{a}{2}\).
- Используем тригонометрическое соотношение для нахождения \(h\):
\[
\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{\frac{a}{2}}{l}
\]
Подставим значения:
\[
\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{4}{l}
\]
Отсюда:
\[
l = \frac{4}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]
- Теперь найдем высоту \(h\) пирамиды, используя Пифагорову теорему:
\[
h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]
Подставим значения:
\[
h = \sqrt{\left(\frac{4}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)^2 - 4^2}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{16}{\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} - 16}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{16 - 16 \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{16(1 - \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right))}{\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{16 \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}}
\]
\[
h = \frac{4 \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]
\[
h = 4 \cot\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]
Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна:
\[
h = 4 \cot\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]
Ответ: \(h = 4 \cot\left(\frac{\varphi}{2}\right)\)