Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна, высота равна. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Ответ

а) \(\frac{\sqrt{9H^{2}+3a^{2}}}{3}\); б) \(2 arcsin \frac{3a}{3\sqrt{9H^{2}+3a^{2}}}\); в) \(arctg \frac{\sqrt{3}H}{a}\); г) \(arctg \frac{2\sqrt{3}H}{a}\); д) \(2arctg\frac{\sqrt{3H^{2}+a^{2}}}{3H}\)

Решение № 44362:

Для решения задачи о правильной треугольной пирамиде, где сторона основания равна \(a\) и высота равна \(h\), выполним следующие шаги: ### а) Найдите боковое ребро пирамиды

1. Рассмотрим треугольную пирамиду с основанием равностороннего треугольника со стороной \(a\) и высотой \(h\).
2. Боковое ребро \(s\) пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром:
3. Сначала найдем половину стороны основания: \( \frac{a}{2} \).
4. Применим теорему Пифагора: \[ s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]
5. Упростим выражение: \[ s = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} \]

### б) Найдите плоский угол при вершине пирамиды

1. Плоский угол при вершине пирамиды можно найти, используя тригонометрические функции.
2. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды, серединой стороны основания и одной вершиной основания.
3. Пусть \( \theta \) — угол при вершине пирамиды. Тогда: \[ \tan(\theta) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a} \]
4. Найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \arctan\left(\frac{2h}{a}\right) \]

### в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды

1. Пусть \( \phi \) — угол между боковым ребром \(s\) и плоскостью основания.
2. Используем косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания: \[ \cos(\phi) = \frac{h}{s} \]
3. Подставим значение \(s\) из пункта а): \[ \cos(\phi) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}} \]
4. Найдем угол \( \phi \): \[ \phi = \arccos\left(\frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}\right) \]

### г) Угол между боковой гранью и основанием пирамиды

1. Пусть \( \alpha \) — угол между боковой гранью и основанием пирамиды.
2. Используем синус угла между боковой гранью и основанием: \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{s} \]
3. Подставим значение \(s\) из пункта а): \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}} \]
4. Найдем угол \( \alpha \): \[ \alpha = \arcsin\left(\frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}\right) \]

### д) Двугранный угол при боковом ребре пирамиды

1. Двугранный угол при боковом ребре пирамиды можно найти, используя углы между боковым ребром и плоскостью основания, а также между боковой гранью и основанием.
2. Двугранный угол \( \beta \) равен сумме углов \( \phi \) и \( \alpha \): \[ \beta = \phi + \alpha \]
3. Подставим значения \( \phi \) и \( \alpha \) из пунктов в) и г): \[ \beta = \arccos\left(\frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}\right) + \arcsin\left(\frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}}\right) \]

Таким образом, мы нашли все необходимые углы и длины для правильной треугольной пирамиды.