Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а)высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Ответ

NaN

Решение № 44357:

Для решения задачи о пирамиде с равными боковыми рёбрами, докажем два утверждения: а) Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. б) Все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания. ## а) Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

1. Рассмотрим пирамиду \(SABC\) с вершиной \(S\) и основанием \( \triangle ABC \). Пусть все боковые рёбра равны, то есть \(SA = SB = SC\).
2. Обозначим \(O\) как центр окружности, описанной около основания \( \triangle ABC \).
3. Поскольку \(OA = OB = OC\) (радиусы описанной окружности), то \(O\) равноудалён от вершин \(A\), \(B\) и \(C\).
4. Рассмотрим треугольники \(SAO\), \(SBO\) и \(SCO\). Поскольку \(SA = SB = SC\) и \(OA = OB = OC\), каждый из этих треугольников является равнобедренным.
5. В равнобедренных треугольниках \(SAO\), \(SBO\) и \(SCO\) медианы, проведённые к основаниям \(AO\), \(BO\) и \(CO\), совпадают с высотами этих треугольников.
6. Следовательно, высота пирамиды \(SO\) проходит через центр \(O\) окружности, описанной около основания \( \triangle ABC \).

## б) Все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

1. Рассмотрим треугольники \(SAO\), \(SBO\) и \(SCO\). Как было показано выше, эти треугольники равнобедренные.
2. В равнобедренных треугольниках \(SAO\), \(SBO\) и \(SCO\) углы при вершине \(S\), то есть \(\angle SAO\), \(\angle SBO\) и \(\angle SCO\), равны между собой.
3. Эти углы являются углами между боковыми рёбрами пирамиды и плоскостью основания.
4. Таким образом, все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Таким образом, мы доказали, что: а) Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. б) Все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.