Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пирамида,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а)высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высота всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.

Ответ

NaN

Решение № 44355:

Для решения задачи о пирамиде, у которой двугранные углы при основании равны, рассмотрим следующие шаги: ### Часть а) Высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

1. Рассмотрим пирамиду \(PABC\) с вершиной \(P\) и основанием \(ABC\), где \(ABC\) — треугольник, вписанный в окружность с центром \(O\).
2. Пусть \(PH\) — высота пирамиды, где \(H\) — точка пересечения высоты с плоскостью основания \(ABC\).
3. Так как двугранные углы при основании пирамиды равны, то все боковые рёбра \(PA\), \(PB\) и \(PC\) равны.
4. Рассмотрим треугольники \(PAH\), \(PBH\) и \(PCH\). Поскольку \(PA = PB = PC\) и \(PH\) является общей высотой, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников).
5. Следовательно, \(AH = BH = CH\), что означает, что \(H\) равноудалена от всех вершин треугольника \(ABC\).
6. Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Таким образом, \(H\) — это центр \(O\) окружности, вписанной в основание пирамиды.

### Часть б) Высота всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны.

1. Рассмотрим боковые грани пирамиды \(PAB\), \(PBC\) и \(PCA\).
2. Пусть \(K\), \(L\) и \(M\) — середины сторон \(AB\), \(BC\) и \(CA\) соответственно.
3. Так как двугранные углы при основании равны, то треугольники \(PAK\), \(PLB\) и \(PMC\) равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников).
4. Следовательно, высоты этих треугольников, проведенные из вершины \(P\) на соответствующие стороны основания, равны.
5. Эти высоты являются высотами боковых граней пирамиды. Таким образом, высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны.

### Часть в) Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.

1. Рассмотрим боковую грань пирамиды \(PAB\).
2. Пусть \(K\) — середина стороны \(AB\), и \(PK\) — высота боковой грани \(PAB\).
3. Площадь треугольника \(PAB\) равна \(\frac{1}{2} \times AB \times PK\).
4. Аналогично, площадь каждой из других боковых граней \(PBC\) и \(PCA\) равна \(\frac{1}{2} \times BC \times PL\) и \(\frac{1}{2} \times CA \times PM\) соответственно.
5. Суммируем площади всех боковых граней: \[ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \times AB \times PK + \frac{1}{2} \times BC \times PL + \frac{1}{2} \times CA \times PM \]
6. Так как \(PK = PL = PM\) (по части б), обозначим их как \(h\). Тогда: \[ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \times (AB + BC + CA) \times h \]
7. Периметр основания \(ABC\) равен \(P = AB + BC + CA\). Таким образом: \[ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \times P \times h \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.