Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пространственная теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом \(\varphi\). Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол \(\theta\) с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Ответ

\(\frac{2\sqrt{2}cos \left ( \frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{4} \right )sin \theta}{sin\frac{\varphi}{2}}\)

Решение № 44343:

Для решения задачи найдем отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) — катет, противоположный углу \(\varphi\), а \(b\) — катет, прилежащий к углу \(\varphi\).
2. Гипотенуза треугольника \(c\) будет равна: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
3. Площадь боковой поверхности призмы \(S_{\text{бок}}\) равна периметру основания, умноженному на высоту призмы \(h\): \[ S_{\text{бок}} = (a + b + c) \cdot h \]
4. Площадь сечения \(S_{\text{сеч}}\) можно найти, зная, что сечение составляет угол \(\theta\) с плоскостью основания. В этом случае площадь сечения будет равна площади основания, умноженной на косинус угла \(\theta\): \[ S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} a b \cdot \cos(\theta) \]
5. Теперь найдем отношение площади боковой поверхности к площади сечения: \[ \frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}} = \frac{(a + b + c) \cdot h}{\frac{1}{2} a b \cdot \cos(\theta)} \]
6. Подставим значение гипотенузы \(c\): \[ \frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}} = \frac{(a + b + \sqrt{a^2 + b^2}) \cdot h}{\frac{1}{2} a b \cdot \cos(\theta)} \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}} = \frac{2 (a + b + \sqrt{a^2 + b^2}) \cdot h}{a b \cdot \cos(\theta)} \]

Таким образом, отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения равно: \[ \frac{2 (a + b + \sqrt{a^2 + b^2}) \cdot h}{a b \cdot \cos(\theta)} \]