Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пространственная теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная \(d\), образует с плоскостью основания угол, а с одной из боковых граней - угол \(\varphi\), а с одной из боковых граней - угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Ответ

\(2d^{2}sin\varphi \left ( \sqrt{cos^{2}\varphi-sin^{2}\alpha}+ sin\alpha \right )\)

Решение № 44340:

Для решения задачи найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, учитывая углы, которые диагональ образует с плоскостью основания и боковыми гранями, выполним следующие шаги:

1. Обозначим диагональ параллелепипеда как \(d\), угол между диагональю и плоскостью основания как \(\theta\), угол между диагональю и одной из боковых граней как \(\varphi\), и угол между диагональю и другой боковой гранью как \(\alpha\).
2. Используем теорему косинусов для нахождения длин сторон основания и высоты параллелепипеда. Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон параллелепипеда.
3. Для нахождения длины \(a\) (стороны основания): \[ a = d \cdot \cos(\theta) \]
4. Для нахождения длины \(b\) (другой стороны основания): \[ b = d \cdot \cos(\varphi) \]
5. Для нахождения длины \(c\) (высоты параллелепипеда): \[ c = d \cdot \cos(\alpha) \]
6. Площадь боковой поверхности параллелепипеда \(S\) складывается из площадей четырех прямоугольников, каждый из которых имеет стороны \(a\) и \(c\), \(b\) и \(c\), \(a\) и \(b\), \(a\) и \(b\): \[ S = 2(a \cdot c + b \cdot c + a \cdot b) \]
7. Подставим найденные значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу для площади боковой поверхности: \[ S = 2(d \cdot \cos(\theta) \cdot d \cdot \cos(\alpha) + d \cdot \cos(\varphi) \cdot d \cdot \cos(\alpha) + d \cdot \cos(\theta) \cdot d \cdot \cos(\varphi)) \]
8. Упростим выражение: \[ S = 2d^2 (\cos(\theta) \cos(\alpha) + \cos(\varphi) \cos(\alpha) + \cos(\theta) \cos(\varphi)) \]
9. Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна: \[ S = 2d^2 (\cos(\theta) \cos(\alpha) + \cos(\varphi) \cos(\alpha) + \cos(\theta) \cos(\varphi)) \]

Ответ: \[ S = 2d^2 (\cos(\theta) \cos(\alpha) + \cos(\varphi) \cos(\alpha) + \cos(\theta) \cos(\varphi)) \]