Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пространственная теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
В правильной \(n\) - угольной призме сторона основания равна \(a\) и высота равна \(h\). Вычислите лощади боковой и полной поверхности призмы, если: а) \(n=3\), \(a\) = 10 см, \(h\) = 15 см; б) \(n=4\), \(a\) = 12 дм, \(h\) = 8 дм; в) \(n=6\), \(a\) = 23 см, \(h\) = 5 дм; г) \(n=5\), \(a\) = 0,4 м, \(h\) = 10 см.
Ответ
а) \(450 см^{2}\) и \(\approx 536 см^{2} \); б) \(384 дм^{2}\) и \(672 дм^{2}\); в) \(69 дм^{2}\) и \(\approx 97 см^{2} \); г) \(0,2 м^{2}\) и \(\approx 0,8 м^{2} \)
Решение № 44337:
Для решения задачи о вычислении площадей боковой и полной поверхности правильной \(n\)-угольной призмы, где сторона основания равна \(a\) и высота равна \(h\), выполним следующие шаги:
- Запишем формулы для площадей боковой и полной поверхности призмы:
- Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) правильной \(n\)-угольной призмы:
\[
S_{\text{бок}} = n \cdot a \cdot h
\]
- Площадь полной поверхности \(S_{\text{полн}}\) правильной \(n\)-угольной призмы:
\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}
\]
где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, которая для правильного \(n\)-угольника вычисляется как:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}
\]
Теперь применим эти формулы к каждому из случаев:
- а) \(n=3\), \(a = 10\) см, \(h = 15\) см:
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2
\]
- Площадь основания:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{3 \cdot 10^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{3 \cdot 100}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{300}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{300 \cdot \sqrt{3}}{12} = 25 \sqrt{3} \text{ см}^2
\]
- Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = 450 + 2 \cdot 25 \sqrt{3} = 450 + 50 \sqrt{3} \text{ см}^2
\]
- б) \(n=4\), \(a = 12\) дм, \(h = 8\) дм:
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2
\]
- Площадь основания:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{4 \cdot 12^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{4 \cdot 144}{4 \cdot 1} = 144 \text{ дм}^2
\]
- Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2
\]
- в) \(n=6\), \(a = 23\) см, \(h = 5\) дм:
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 6 \cdot 23 \cdot 5 = 690 \text{ см}^2
\]
- Площадь основания:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{6 \cdot 23^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{6 \cdot 529}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3174}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3174 \cdot 3}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{9522}{4 \cdot \sqrt{3}} = 2380.5 \sqrt{3} \text{ см}^2
\]
- Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = 690 + 2 \cdot 2380.5 \sqrt{3} = 690 + 4761 \sqrt{3} \text{ см}^2
\]
- г) \(n=5\), \(a = 0.4\) м, \(h = 10\) см:
- Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1 = 0.2 \text{ м}^2
\]
- Площадь основания:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{5 \cdot (0.4)^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{5 \cdot 0.16}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{0.8}{4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{0.2}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \text{ м}^2
\]
- Площадь полной поверхности:
\[
S_{\text{полн}} = 0.2 + 2 \cdot \frac{0.2}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} = 0.2 + \frac{0.4}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \text{ м}^2
\]
Таким образом, мы вычислили площади боковой и полной поверхности для каждого из случаев.