Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Многогранники, Пространственная теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Основание призмы - правильный треугольник \(ABC\). Боковое ребро \(AA_{1}\) образует равные углы со сторонами основания \(AC\) и \(AB\). Докажите, что: а)\(BC \perp AA_{1}\); б)\(CC_{1}B_{1}B\) - прямоугольник.
Ответ
NaN
Решение № 44335:
Для решения задачи, в которой основание призмы — правильный треугольник \(ABC\), а боковое ребро \(AA_1\) образует равные углы со сторонами основания \(AC\) и \(AB\), выполним следующие шаги:
### а) Доказать, что \(BC \perp AA_1\)
- Рассмотрим правильный треугольник \(ABC\) и боковое ребро \(AA_1\).
- Пусть углы между \(AA_1\) и сторонами \(AC\) и \(AB\) равны \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. По условию \(\alpha = \beta\).
- Рассмотрим треугольник \(ABA_1\). Поскольку \(AA_1\) образует равные углы с \(AC\) и \(AB\), то \(AA_1\) является биссектрисой угла \(A\) в треугольнике \(ABC\).
- Так как \(ABC\) — правильный треугольник, то \(\angle BAC = 60^\circ\). Следовательно, \(\alpha = \beta = 30^\circ\).
- Теперь рассмотрим треугольник \(ACA_1\). Аналогично, \(AA_1\) является биссектрисой угла \(A\) в треугольнике \(ACA_1\).
- Поскольку \(AA_1\) является биссектрисой углов \(BAC\) и \(CAA_1\), то \(AA_1\) перпендикулярно \(BC\).
- Таким образом, \(BC \perp AA_1\).
### б) Доказать, что \(CC_1B_1B\) - прямоугольник
- Рассмотрим параллелепипед \(ABC A_1B_1C_1\) с основанием в виде правильного треугольника \(ABC\).
- Из пункта а) мы знаем, что \(BC \perp AA_1\).
- Рассмотрим четырехугольник \(CC_1B_1B\).
- Поскольку \(AA_1 \perp BC\), и \(AA_1\) перпендикулярно плоскости \(BC\), то \(CC_1 \perp BC\) и \(B_1B \perp BC\).
- Аналогично, \(CC_1 \perp B_1B\) и \(B_1B \perp CC_1\).
- Таким образом, все углы четырехугольника \(CC_1B_1B\) прямые, следовательно, \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.
Ответ: \(BC \perp AA_1\) и \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.