Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Ребро куба равно \(a\). Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Ответ

а) \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\); б) \(\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Решение № 44292:

### Решение задачи: **Ребро куба равно \(a\). Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:** **а) диагональ куба и ребро куба;** **б) диагональ куба и диагональ грани куба.** #### а) Диагональ куба и ребро куба

1. Определим длину диагонали куба. Диагональ куба \(d\) можно найти по формуле: \[ d = a\sqrt{3} \]
2. Рассмотрим куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Пусть \(B_1D\) — диагональ куба, а \(AA_1\) — ребро куба.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми \(B_1D\) и \(AA_1\) равно расстоянию между параллельными прямыми \(B_1D\) и \(AC\), которое является высотой равнобедренного треугольника \(AB_1C\) с основанием \(B_1C = a\sqrt{2}\) и боковыми сторонами \(AB_1 = AC = a\sqrt{2}\).
4. Используем формулу для высоты равнобедренного треугольника: \[ h = \sqrt{AB_1^2 - \left(\frac{B_1C}{2}\right)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \]
5. Упростим выражение: \[ h = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2}{2} - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} \]
6. Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми \(B_1D\) и \(AA_1\) равно: \[ \boxed{a\sqrt{\frac{3}{2}}} \]

#### б) Диагональ куба и диагональ грани куба

1. Определим длину диагонали грани куба. Диагональ грани куба \(d_f\) можно найти по формуле: \[ d_f = a\sqrt{2} \]
2. Рассмотрим куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Пусть \(B_1D\) — диагональ куба, а \(AC\) — диагональ грани куба.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми \(B_1D\) и \(AC\) равно расстоянию между параллельными прямыми \(B_1D\) и \(AC\), которое является высотой равнобедренного треугольника \(AB_1C\) с основанием \(B_1C = a\sqrt{2}\) и боковыми сторонами \(AB_1 = AC = a\sqrt{2}\).
4. Используем формулу для высоты равнобедренного треугольника: \[ h = \sqrt{AB_1^2 - \left(\frac{B_1C}{2}\right)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \]
5. Упростим выражение: \[ h = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2}{2} - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} \]
6. Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми \(B_1D\) и \(AC\) равно: \[ \boxed{a\sqrt{\frac{3}{2}}} \]

Таким образом, решения для обеих частей задачи совпадают и равны: \[ \boxed{a\sqrt{\frac{3}{2}}} \]