Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) дано: \(D_{1}B=d\), \(AC=m\), \(AB=n\). Найдите расстояние между: а) прямой \(A_{1}C_{1}\) и плоскостью \(ABC\); б) плоскостями \(ABB_{1}\) и \(DCC_{1}\); в) прямой \(DD_{1}\) и плоскостью \(ACC_{1}\).

Ответ

а) \(\sqrt{d^{2}-m^{2}}\); б) \(\sqrt{m^{2}-n^{2}}\); в) \(\frac{n\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m}\)

Решение № 44291:

Для решения задачи о прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) с данными \(D_{1}B=d\), \(AC=m\), \(AB=n\) выполним следующие шаги: ### а) Расстояние между прямой \(A_{1}C_{1}\) и плоскостью \(ABC\)

1. Рассмотрим прямоугольник \(ACC_{1}A_{1}\).
2. Прямая \(A_{1}C_{1}\) параллельна плоскости \(ABC\), так как \(A_{1}C_{1}\) параллельна \(AC\), которая лежит в плоскости \(ABC\).
3. Расстояние между прямой \(A_{1}C_{1}\) и плоскостью \(ABC\) равно расстоянию от точки \(A_{1}\) до плоскости \(ABC\).
4. Точка \(A_{1}\) находится на расстоянии \(d\) от плоскости \(ABC\), так как \(D_{1}B=d\) и \(A_{1}B_{1}\) параллельно \(AB\).
5. Следовательно, расстояние между прямой \(A_{1}C_{1}\) и плоскостью \(ABC\) равно \(d\).

### б) Расстояние между плоскостями \(ABB_{1}\) и \(DCC_{1}\)

1. Плоскость \(ABB_{1}\) параллельна плоскости \(DCC_{1}\), так как обе плоскости параллельны и перпендикулярны основанию параллелепипеда.
2. Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между точками \(A\) и \(D_{1}\), которое равно \(n\), так как \(AB=n\).
3. Следовательно, расстояние между плоскостями \(ABB_{1}\) и \(DCC_{1}\) равно \(n\).

### в) Расстояние между прямой \(DD_{1}\) и плоскостью \(ACC_{1}\)

1. Рассмотрим прямоугольник \(ADD_{1}A_{1}\).
2. Прямая \(DD_{1}\) параллельна плоскости \(ACC_{1}\), так как \(DD_{1}\) параллельна \(AA_{1}\), которая лежит в плоскости \(ACC_{1}\).
3. Расстояние между прямой \(DD_{1}\) и плоскостью \(ACC_{1}\) равно расстоянию от точки \(D\) до плоскости \(ACC_{1}\).
4. Точка \(D\) находится на расстоянии \(m\) от плоскости \(ACC_{1}\), так как \(AC=m\).
5. Следовательно, расстояние между прямой \(DD_{1}\) и плоскостью \(ACC_{1}\) равно \(m\).

Таким образом, решения задачи: - а) Расстояние между прямой \(A_{1}C_{1}\) и плоскостью \(ABC\) равно \(d\). - б) Расстояние между плоскостями \(ABB_{1}\) и \(DCC_{1}\) равно \(n\). - в) Расстояние между прямой \(DD_{1}\) и плоскостью \(ACC_{1}\) равно \(m\).