Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Ответ

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Решение № 44290:

Для решения задачи о нахождении тангенса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим куб с ребром длины \(a\).
2. Найдем длину диагонали куба. Диагональ куба \(d\) соединяет две противоположные вершины куба. Используем теорему Пифагора для нахождения длины диагонали:
\[ d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]
3. Теперь найдем длину диагонали грани куба. Диагональ грани \(d_g\) соединяет две противоположные вершины одной грани куба. Используем теорему Пифагора для нахождения длины диагонали грани:
\[ d_g = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
4. Тангенс угла \(\theta\) между диагональю куба и плоскостью одной из его граней можно найти, используя определение тангенса угла между вектором и плоскостью. В данном случае, вектор диагонали куба и плоскость грани образуют прямоугольный треугольник, где:
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{противлежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}} \]
5. Противлежащая сторона в этом треугольнике — это высота куба \(a\), а прилежащая сторона — это диагональ грани \(a\sqrt{2}\).
6. Таким образом, тангенс угла \(\theta\) будет:
\[ \tan(\theta) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)