Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Докажите, что плоскости \(ABC_{1}\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) перпендикулярны.

Ответ

NaN

Решение № 44289:

Для доказательства того, что плоскости \(ABC_{1}\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) перпендикулярны, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).
2. Определим координаты вершин куба:
   • \(A(0,0,0)\)
   • \(B(a,0,0)\)
   • \(C(a,a,0)\)
   • \(D(0,a,0)\)
   • \(A_{1}(0,0,a)\)
   • \(B_{1}(a,0,a)\)
   • \(C_{1}(a,a,a)\)
   • \(D_{1}(0,a,a)\)
3. Определим плоскость \(ABC_{1}\). Для этого найдем нормальный вектор к этой плоскости. Вектор нормали к плоскости можно найти через векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.
4. Выберем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC_{1}}\):
   • \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\)
   • \(\overrightarrow{AC_{1}} = (a, a, a)\)
5. Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_{1}}\): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_{1}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = -a^2 \mathbf{j} + a^2 \mathbf{k} \] Таким образом, нормальный вектор к плоскости \(ABC_{1}\) есть \(\mathbf{n}_{1} = (-a^2, 0, a^2)\).
6. Определим плоскость \(A_{1}B_{1}C_{1}\). Для этого найдем нормальный вектор к этой плоскости. Выберем векторы \(\overrightarrow{A_{1}B_{1}}\) и \(\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\):
   • \(\overrightarrow{A_{1}B_{1}} = (a, 0, 0)\)
   • \(\overrightarrow{A_{1}C_{1}} = (a, a, 0)\)
7. Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{A_{1}B_{1}} \times \overrightarrow{A_{1}C_{1}}\): \[ \overrightarrow{A_{1}B_{1}} \times \overrightarrow{A_{1}C_{1}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & 0 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = -a^2 \mathbf{j} \] Таким образом, нормальный вектор к плоскости \(A_{1}B_{1}C_{1}\) есть \(\mathbf{n}_{2} = (0, -a^2, 0)\).
8. Проверим перпендикулярность нормальных векторов \(\mathbf{n}_{1}\) и \(\mathbf{n}_{2}\). Для этого найдем их скалярное произведение: \[ \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2} = (-a^2, 0, a^2) \cdot (0, -a^2, 0) = (-a^2) \cdot 0 + 0 \cdot (-a^2) + a^2 \cdot 0 = 0 \]
9. Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны. Следовательно, плоскости \(ABC_{1}\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) перпендикулярны.

Ответ: Плоскости \(ABC_{1}\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) перпендикулярны.