Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). На... — перпендикулярность плоскостей, 10-11 класс

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите следующие двугранные углы: а)\(ABB_{1}C\); б)\(ADD_{1}B\); в)\(A_{1}BB_[1}K\), где \(K\) - середина ребра \(A_{1}D_{1}\).

Ответ

а) \(90^{\circ}\); б) \(45^{\circ}\); в) \(tg\varphi =\frac{1}{2}\), \(\varphi \approx 26^{\circ}{34}'\)

Решение № 44288:

Для решения задачи о нахождении двугранных углов в кубе \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\), выполним следующие шаги:

  1. а) Двугранный угол \(ABB_{1}C\)
    1. Рассмотрим вершины \(A\), \(B\), \(B_{1}\) и \(C\).
    2. Определим координаты вершин в кубе:
      • \(A(0,0,0)\)
      • \(B(1,0,0)\)
      • \(B_{1}(1,0,1)\)
      • \(C(0,1,0)\)
    3. Вычислим векторы:
      • \(\overrightarrow{AB} = (1,0,0)\)
      • \(\overrightarrow{BB_{1}} = (0,0,1)\)
      • \(\overrightarrow{BC} = (-1,1,0)\)
    4. Найдем углы между векторами:
      • Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BB_{1}}\) равен \(90^\circ\).
      • Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен \(90^\circ\).
      • Угол между \(\overrightarrow{BB_{1}}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен \(90^\circ\).
    5. Таким образом, двугранный угол \(ABB_{1}C\) равен \(90^\circ\).
  2. б) Двугранный угол \(ADD_{1}B\)
    1. Рассмотрим вершины \(A\), \(D\), \(D_{1}\) и \(B\).
    2. Определим координаты вершин в кубе:
      • \(A(0,0,0)\)
      • \(D(0,1,0)\)
      • \(D_{1}(0,1,1)\)
      • \(B(1,0,0)\)
    3. Вычислим векторы:
      • \(\overrightarrow{AD} = (0,1,0)\)
      • \(\overrightarrow{DD_{1}} = (0,0,1)\)
      • \(\overrightarrow{DB} = (1,-1,0)\)
    4. Найдем углы между векторами:
      • Угол между \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DD_{1}}\) равен \(90^\circ\).
      • Угол между \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DB}\) равен \(90^\circ\).
      • Угол между \(\overrightarrow{DD_{1}}\) и \(\overrightarrow{DB}\) равен \(90^\circ\).
    5. Таким образом, двугранный угол \(ADD_{1}B\) равен \(90^\circ\).
  3. в) Двугранный угол \(A_{1}BB_[1}K\), где \(K\) - середина ребра \(A_{1}D_{1}\)
    1. Рассмотрим вершины \(A_{1}\), \(B\), \(B_{1}\) и \(K\).
    2. Определим координаты вершин в кубе:
      • \(A_{1}(0,0,1)\)
      • \(B(1,0,0)\)
      • \(B_{1}(1,0,1)\)
      • \(D_{1}(0,1,1)\)
      • \(K\) - середина ребра \(A_{1}D_{1}\), координаты \(K\) будут \((0, \frac{1}{2}, 1)\).
    3. Вычислим векторы:
      • \(\overrightarrow{A_{1}B} = (1,0,-1)\)
      • \(\overrightarrow{BB_{1}} = (0,0,1)\)
      • \(\overrightarrow{BK} = (-1, \frac{1}{2}, 1)\)
    4. Найдем углы между векторами:
      • Угол между \(\overrightarrow{A_{1}B}\) и \(\overrightarrow{BB_{1}}\) равен \(90^\circ\).
      • Угол между \(\overrightarrow{A_{1}B}\) и \(\overrightarrow{BK}\) равен \(90^\circ\).
      • Угол между \(\overrightarrow{BB_{1}}\) и \(\overrightarrow{BK}\) равен \(90^\circ\).
    5. Таким образом, двугранный угол \(A_{1}BB_[1}K\) равен \(90^\circ\).
Ответ: Все двугранные углы равны \(90^\circ\).

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)