Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой \(a\). Из точки \(M\) проведены перпендикуляры \(MA\) и \(MB\) к этим плоскостям. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(AMB\) в точке \(C\). а) Докажите, что четырехугольник \(ACBM\) является прямоугольником. б) найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(a\), если \(AM=m\), \(BM=n\).

Ответ

\(\sqrt{m^{2}+n^{2}}\)

Решение № 44280:

Для решения задачи, разделим её на две части: а) доказательство, что четырёхугольник \(ACBM\) является прямоугольником, и б) нахождение расстояния от точки \(M\) до прямой \(a\). ### а) Доказательство, что четырёхугольник \(ACBM\) является прямоугольником

1. Запишем условие задачи: плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой \(a\). Из точки \(M\) проведены перпендикуляры \(MA\) и \(MB\) к этим плоскостям.
2. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(AMB\) в точке \(C\).
3. Рассмотрим треугольник \(AMB\):
   • Поскольку \(MA\) и \(MB\) — перпендикуляры к плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, точка \(M\) является вершиной прямого угла.
   • Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, точка \(M\) является вершиной прямого угла в треугольнике \(AMB\).
4. Рассмотрим треугольник \(AMC\):
   • Прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(AMB\), следовательно, \(MC\) — перпендикуляр к \(a\).
   • Так как \(MA\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\), точка \(C\) лежит на пересечении \(a\) и плоскости \(AMB\), следовательно, \(AC\) — перпендикуляр к \(a\).
5. Аналогично рассмотрим треугольник \(BMC\):
   • Прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(AMB\), следовательно, \(MC\) — перпендикуляр к \(a\).
   • Так как \(MB\) — перпендикуляр к плоскости \(\beta\), точка \(C\) лежит на пересечении \(a\) и плоскости \(AMB\), следовательно, \(BC\) — перпендикуляр к \(a\).
6. Таким образом, все углы четырёхугольника \(ACBM\) являются прямыми углами, следовательно, \(ACBM\) — прямоугольник.

### б) Нахождение расстояния от точки \(M\) до прямой \(a\)

1. Запишем условие задачи: \(AM = m\), \(BM = n\).
2. Рассмотрим треугольник \(AMB\):
   • Точка \(M\) — вершина прямого угла, \(AM\) и \(BM\) — катеты, \(AB\) — гипотенуза.
3. Используем теорему Пифагора для треугольника \(AMB\): \[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]
4. Подставим значения \(AM\) и \(BM\): \[ AB^2 = m^2 + n^2 \]
5. Расстояние от точки \(M\) до прямой \(a\) равно длине перпендикуляра \(MC\), который является высотой треугольника \(AMB\), проведённой к гипотенузе \(AB\).
6. Используем формулу высоты треугольника, проведённой к гипотенузе: \[ MC = \frac{AM \cdot BM}{AB} \]
7. Подставим значения \(AM\) и \(BM\): \[ MC = \frac{m \cdot n}{\sqrt{m^2 + n^2}} \]

Таким образом, расстояние от точки \(M\) до прямой \(a\) равно: \[ \frac{m \cdot n}{\sqrt{m^2 + n^2}} \] Ответ: \(\frac{m \cdot n}{\sqrt{m^2 + n^2}}\).