Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите двугранный угол \(ABCD\) тетраэдра \(ABCD\), если углы \(DAB\), \(DAC\) и \(ACB\) прямые, \(AC\)=\(CB\)=5, \(DB= 5\sqrt{5} \).

Ответ

\(60^{\circ}\)

Решение № 44272:

Для решения задачи о двугранном угле \(ABCD\) тетраэдра \(ABCD\), где углы \(DAB\), \(DAC\) и \(ACB\) прямые, \(AC = CB = 5\), \(DB = 5\sqrt{5}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные: \[ \angle DAB = \angle DAC = \angle ACB = 90^\circ \] \[ AC = CB = 5, \quad DB = 5\sqrt{5} \]
2. Рассмотрим треугольник \(ACB\). Поскольку \(AC = CB\) и \(\angle ACB = 90^\circ\), треугольник \(ACB\) является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно: \[ AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
3. Рассмотрим треугольник \(DAB\). Поскольку \(\angle DAB = 90^\circ\), треугольник \(DAB\) является прямоугольным. По теореме Пифагора: \[ AD^2 + AB^2 = DB^2 \] Подставим известные значения: \[ AD^2 + (5\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{5})^2 \] \[ AD^2 + 50 = 125 \] \[ AD^2 = 125 - 50 = 75 \] \[ AD = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
4. Рассмотрим треугольник \(DAC\). Поскольку \(\angle DAC = 90^\circ\), треугольник \(DAC\) также является прямоугольным. По теореме Пифагора: \[ DA^2 + AC^2 = DC^2 \] Подставим известные значения: \[ (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = DC^2 \] \[ 75 + 25 = DC^2 \] \[ DC^2 = 100 \] \[ DC = \sqrt{100} = 10 \]
5. Таким образом, двугранный угол \(ABCD\) тетраэдра \(ABCD\) можно описать следующими длинами сторон: \[ AB = 5\sqrt{2}, \quad AC = 5, \quad CB = 5, \quad DB = 5\sqrt{5}, \quad AD = 5\sqrt{3}, \quad DC = 10 \]

Ответ: Двугранный угол \(ABCD\) тетраэдра \(ABCD\) описан выше.