Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Ребро \(CD\) тетраэдра \(ABCD\) перпендикулярно к плоскости \(ABC\), \(AB\)=\(BC\)=\(AC\)=6, \(BD=3\sqrt{7}\). Найдите двугранные углы \(DACB\), \(DABC\), \(BDCA\).

Ответ

\(90^{\circ}\), \(45^{\circ}\) и \(60^{\circ}\)

Решение № 44271:

Для решения задачи о нахождении двугранных углов в тетраэдре \(ABCD\) с указанными условиями, выполним следующие шаги:

1. Определим, что ребро \(CD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), а \(AB = BC = AC = 6\). Это означает, что треугольник \(ABC\) является равносторонним треугольником с длиной стороны 6.
2. Найдем высоту \(CN\) равностороннего треугольника \(ABC\). Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ CN = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \]
3. Теперь найдем длину ребра \(CD\). Поскольку \(CD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике \(BCD\): \[ BD = 3\sqrt{7} \] \[ CD = \sqrt{BD^2 - BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{7})^2 - 6^2} = \sqrt{63 - 36} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
4. Найдем тангенс угла \(DCA\): \[ \tan \angle DCA = \frac{CD}{CN} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 1 \] Следовательно, угол \(DCA\) равен \(45^\circ\).
5. Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, все его углы равны \(60^\circ\). Следовательно, двугранный угол \(DACB\) равен \(60^\circ\).
6. Теперь найдем двугранный угол \(DABC\). Поскольку \(AB = BC = AC = 6\), треугольник \(ABC\) равносторонний, и все его углы равны \(60^\circ\). Следовательно, двугранный угол \(DABC\) также равен \(60^\circ\).
7. Найдем двугранный угол \(BDCA\). Поскольку \(BD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), угол \(BDCA\) равен \(90^\circ\).

Таким образом, двугранные углы тетраэдра \(ABCD\) равны: \[ \angle DACB = 60^\circ, \quad \angle DABC = 60^\circ, \quad \angle BDCA = 90^\circ \] Ответ: \(60^\circ, 60^\circ, 90^\circ\).