Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости \(\alpha\), а катет наклонен к этой плоскости под углом \(30^{\circ}\). Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника.

Ответ

\(45^{\circ}\)

Решение № 44269:

Для решения задачи о нахождении угла между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью равнобедренного прямоугольного треугольника, где гипотенуза лежит в плоскости \(\alpha\), а катет наклонен к этой плоскости под углом \(30^{\circ}\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(AB = AC\) и \(\angle A = 90^{\circ}\). Пусть \(AB = AC = a\) и \(BC = a\sqrt{2}\) (по теореме Пифагора).
2. Пусть \(D\) — ортогональная проекция вершины \(C\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(CD \perp \alpha\) и \(D\) лежит на отрезке \(BC\).
3. Из условия задачи известно, что \(AD = a\) и \(CD = a\sqrt{3}/2\) (так как \(\angle ADC = 30^{\circ}\)).
4. Теперь найдем длину отрезка \(BD\). Поскольку \(D\) лежит на отрезке \(BC\), используем теорему Пифагора для треугольника \(BCD\): \[ BD^2 = BC^2 - CD^2 = (a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2a^2 - \frac{3a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} \] \[ BD = \frac{a\sqrt{5}}{2} \]
5. Теперь найдем \(\cos \angle BDA\): \[ \cos \angle BDA = \frac{AD}{BD} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
6. Таким образом, угол \(\angle BDA\) равен: \[ \angle BDA = \arccos \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \]

Ответ: \(\arccos \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\)