Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, Сечения многогранников, Площади сечений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Двугранный угол равен \(\varphi\). На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние \(d\) от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Ответ

\(\frac{d}}{sin\varphi}\)

Решение № 44266:

Для решения задачи о нахождении расстояния от точки до ребра двугранного угла выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Двугранный угол равен \(\varphi\). На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние \(d\) от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
2. Обозначим расстояние от точки до ребра двугранного угла как \(x\).
3. Спроецируем точку на плоскость другой грани. Расстояние от проекции точки до ребра угла будет равно \(x \cdot \tan(\varphi)\).
4. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного точкой, её проекцией и ребром угла, запишем уравнение: \[ d^2 = x^2 + (x \cdot \tan(\varphi))^2 \]
5. Упростим уравнение: \[ d^2 = x^2 + x^2 \cdot \tan^2(\varphi) \]
6. Вынесем \(x^2\) за скобки: \[ d^2 = x^2 (1 + \tan^2(\varphi)) \]
7. Вспомним, что \(1 + \tan^2(\varphi) = \sec^2(\varphi)\), тогда: \[ d^2 = x^2 \sec^2(\varphi) \]
8. Разделим обе части уравнения на \(\sec^2(\varphi)\): \[ x^2 = \frac{d^2}{\sec^2(\varphi)} \]
9. Воспользуемся тем, что \(\sec(\varphi) = \frac{1}{\cos(\varphi)}\), тогда: \[ x^2 = d^2 \cos^2(\varphi) \]
10. Возьмем корень из обеих частей уравнения: \[ x = d \cos(\varphi) \]

Таким образом, расстояние от точки до ребра двугранного угла равно \(d \cos(\varphi)\). Ответ: \(d \cos(\varphi)\)