Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Угол между прямой и плоскостью,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая \(MA\) проходит через точку \(A\) плоскости \(\alpha\) и образует с этой плоскостью угол \(\varphi_{0}\neq 90^{\circ} \). Докажите, что \(\varphi_{0}\) является наименьшим из всех углов, которые прямая \(MA\) образует с прямыми, проведенными в плоскости \(\alpha\) через точку \(A\).

Ответ

NaN

Решение № 44260:

Для доказательства того, что угол \(\varphi_0\), который прямая \(MA\) образует с плоскостью \(\alpha\), является наименьшим из всех углов, которые прямая \(MA\) образует с прямыми, проведенными в плоскости \(\alpha\) через точку \(A\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим прямую \(MA\), проходящую через точку \(A\) плоскости \(\alpha\) и образующую с этой плоскостью угол \(\varphi_0 \neq 90^\circ\).
2. Пусть \(A_1\) — ортогональная проекция точки \(M\) на плоскость \(\alpha\).
3. Прямая \(MA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), следовательно, \(MA_1\) является высотой треугольника \(MAA_1\).
4. Угол \(\angle MA_1A\) равен \(\varphi_0\).
5. Теперь возьмем произвольную прямую \(l\), проходящую через точку \(A\) и лежащую в плоскости \(\alpha\).
6. Рассмотрим угол между прямой \(MA\) и прямой \(l\). Обозначим этот угол как \(\varphi\).
7. Опустим перпендикуляр из точки \(M\) на прямую \(l\). Пусть \(B\) — основание этого перпендикуляра.
8. Треугольник \(MAB\) является прямоугольным треугольником с катетом \(AB\) и гипотенузой \(MA\).
9. Рассмотрим треугольник \(MA_1B\). Поскольку \(MA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), \(MA_1\) является высотой треугольника \(MA_1B\).
10. Угол \(\angle MA_1B\) равен \(\varphi\).
11. Так как \(MA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), \(MA_1\) является наименьшей высотой треугольника \(MA_1B\), а \(MA\) — гипотенузой треугольника \(MAB\).
12. Следовательно, угол \(\angle MA_1A\) (который равен \(\varphi_0\)) является наименьшим из всех углов, которые прямая \(MA\) образует с прямыми, проведенными в плоскости \(\alpha\) через точку \(A\).

Таким образом, доказано, что угол \(\varphi_0\) является наименьшим из всех углов, которые прямая \(MA\) образует с прямыми, проведенными в плоскости \(\alpha\) через точку \(A\). \(\blacksquare\)