Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Угол между прямой и плоскостью,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Прямая \(BM\) перпендикулярна к плоскости прямоугольника \(ABCD\). Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости \(ADM\) и \(BCM\), перпендикулярна к плоскости \(ABM\).
Ответ
NaN
Решение № 44257:
Для решения задачи о перпендикулярности прямой, по которой пересекаются плоскости \(ADM\) и \(BCM\), к плоскости \(ABM\), выполним следующие шаги:
- Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) и прямую \(BM\), перпендикулярную плоскости \(ABCD\).
- Пусть \(M\) — точка, через которую проходит прямая \(BM\).
- Плоскости \(ADM\) и \(BCM\) пересекаются по прямой \(l\).
- Требуется доказать, что прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(ABM\).
- Рассмотрим ортогональную проекцию прямоугольника \(ABCD\) на плоскость \(ABM\).
- Поскольку \(BM\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\), проекция \(BM\) на плоскость \(ABM\) будет точкой \(B\).
- Плоскость \(ADM\) содержит ребро \(AD\) и прямую \(BM\). Проекция плоскости \(ADM\) на плоскость \(ABM\) будет прямой \(AB\).
- Аналогично, плоскость \(BCM\) содержит ребро \(BC\) и прямую \(BM\). Проекция плоскости \(BCM\) на плоскость \(ABM\) будет прямой \(BM\).
- Пересечение проекций плоскостей \(ADM\) и \(BCM\) на плоскость \(ABM\) будет точкой \(B\).
- Прямая \(l\), по которой пересекаются плоскости \(ADM\) и \(BCM\), проходит через точку \(B\).
- Поскольку \(BM\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\), а \(l\) содержит \(BM\), прямая \(l\) также перпендикулярна плоскости \(ABCD\).
- Так как \(l\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\) и содержит точку \(B\), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(ABM\), включая прямую \(AB\).
- Следовательно, прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(ABM\).
Таким образом, мы доказали, что прямая, по которой пересекаются плоскости \(ADM\) и \(BCM\), перпендикулярна плоскости \(ABM\).