Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Угол между прямой и плоскостью,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Один из катетов прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(m\), а острый угол, прилежащий к этому катету, равен \(\varphi\). Через вершину прямого угла \(C\) проведена прямая \(CD\), перпендикулярная к плоскости этого треугольника, \(CD=n\). Найдите расстояние от точки \(D\) до прямой \(AB\).
Ответ
\(\sqrt{n^{2}+m^{2}sin^{2}\varphi}\)
Решение № 44254:
Для решения задачи о нахождении расстояния от точки \(D\) до прямой \(AB\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\), где один из катетов равен \(m\), острый угол прилежащий к этому катету равен \(\varphi\), и через вершину прямого угла \(C\) проведена прямая \(CD\), перпендикулярная к плоскости этого треугольника, \(CD = n\), выполним следующие шаги:
- Запишем известные данные:
- Катет \(AB = m\)
- Острый угол \(\angle ACB = \varphi\)
- Прямая \(CD\) перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\) и \(CD = n\)
- Определим проекцию точки \(D\) на плоскость треугольника \(ABC\):
- Проекция точки \(D\) на плоскость треугольника \(ABC\) совпадает с точкой \(C\), так как \(CD\) перпендикулярна плоскости треугольника.
- Найдем расстояние от точки \(C\) до прямой \(AB\):
- Используем тригонометрические функции для нахождения расстояния от точки \(C\) до прямой \(AB\).
- Расстояние от точки \(C\) до прямой \(AB\) равно длине катета \(BC\), который можно найти через угол \(\varphi\) и катет \(AB\):
\[
BC = AB \cdot \tan(\varphi) = m \cdot \tan(\varphi)
\]
- Найдем расстояние от точки \(D\) до прямой \(AB\):
- Расстояние от точки \(D\) до прямой \(AB\) будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(BC\) и \(CD\).
- Используем теорему Пифагора для нахождения этого расстояния:
\[
\text{Расстояние} = \sqrt{(BC)^2 + (CD)^2} = \sqrt{(m \cdot \tan(\varphi))^2 + n^2}
\]
- Упростим выражение:
-
\[
\text{Расстояние} = \sqrt{(m \cdot \tan(\varphi))^2 + n^2} = \sqrt{m^2 \cdot \tan^2(\varphi) + n^2}
\]
Таким образом, расстояние от точки \(D\) до прямой \(AB\) равно:
\[
\boxed{\sqrt{m^2 \cdot \tan^2(\varphi) + n^2}}
\]