Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Угол между прямой и плоскостью,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Через вершину \(A\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник \(CBD\) прямоугольный. б) Найдите \(BD\), если \(BC=a\), \(DC=b\).

Ответ

\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

Решение № 44243:

Для решения задачи, разбейте её на два подзадачи: а) доказать, что треугольник \(CBD\) прямоугольный, и б) найти длину \(BD\). ### а) Доказать, что треугольник \(CBD\) прямоугольный

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(A\) — прямой угол при вершине \(C\).
2. Через вершину \(A\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная к плоскости треугольника \(ABC\).
3. Так как \(AD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то \(AD\) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, \(AD\) перпендикулярна \(BC\).
4. Следовательно, угол \(ADC\) является прямым углом, так как \(AD\) перпендикулярна \(DC\).
5. Теперь рассмотрим треугольник \(CBD\). Угол \(CDB\) является прямым углом, так как \(AD\) перпендикулярна \(BC\).
6. Таким образом, треугольник \(CBD\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(D\).

### б) Найти \(BD\), если \(BC = a\) и \(DC = b\)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CBD\), где \(BC = a\) и \(DC = b\).
2. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(CBD\): \[ BD^2 = BC^2 + DC^2 \]
3. Подставим значения \(BC = a\) и \(DC = b\): \[ BD^2 = a^2 + b^2 \]
4. Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ BD = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Таким образом, длина \(BD\) равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Ответ: \(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\).