Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Угол между прямой и плоскостью,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен \(\varphi\). а) Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен \(d\). б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна \(m\).

Ответ

а) \(\frac{d}{cos\varphi}\), \(d tg \varphi\); б) \(m cos \varphi\), \(m sin \varphi\)

Решение № 44236:

Для решения задачи, рассмотрим две части: а) найти наклонную и её проекцию на плоскость, если перпендикуляр равен \(d\); б) найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна \(m\). ### а) Найти наклонную и её проекцию на плоскость, если перпендикуляр равен \(d\).

1. Пусть \(d\) — перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости.
2. Пусть \(l\) — наклонная, проведённая из той же точки к плоскости.
3. Пусть \(\varphi\) — угол между перпендикуляром и наклонной.
4. Проекция наклонной \(l\) на плоскость обозначим как \(l_p\).
5. Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — наклонная \(l\), катет — перпендикуляр \(d\), и другой катет — проекция наклонной \(l_p\): \[ \cos \varphi = \frac{d}{l} \] \[ \sin \varphi = \frac{l_p}{l} \]
6. Выразим \(l\) через \(d\) и \(\varphi\): \[ l = \frac{d}{\cos \varphi} \]
7. Выразим \(l_p\) через \(d\) и \(\varphi\): \[ l_p = d \cdot \tan \varphi \]

### б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна \(m\).

1. Пусть \(m\) — наклонная, проведённая из точки к плоскости.
2. Пусть \(d\) — перпендикуляр, проведённый из той же точки к плоскости.
3. Пусть \(\varphi\) — угол между перпендикуляром и наклонной.
4. Проекция наклонной \(m\) на плоскость обозначим как \(m_p\).
5. Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — наклонная \(m\), катет — перпендикуляр \(d\), и другой катет — проекция наклонной \(m_p\): \[ \cos \varphi = \frac{d}{m} \] \[ \sin \varphi = \frac{m_p}{m} \]
6. Выразим \(d\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ d = m \cos \varphi \]
7. Выразим \(m_p\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ m_p = m \sin \varphi \]

Таким образом, мы нашли наклонную и её проекцию на плоскость, если известен перпендикуляр, а также перпендикуляр и проекцию наклонной, если известна наклонная.