Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Ответ

NaN

Решение № 44235:

Для доказательства того, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(a\) и \(b\) — две взаимно перпендикулярные скрещивающиеся прямые.
2. Пусть \(c\) — прямая, к которой мы хотим найти перпендикулярную плоскость.
3. Рассмотрим плоскость \(\alpha\), содержащую прямую \(a\).
4. В плоскости \(\alpha\) построим перпендикуляр \(p\) к прямой \(c\).
5. Плоскость \(\beta\), содержащая перпендикуляр \(p\) и прямую \(b\), будет перпендикулярна прямой \(c\).
6. Докажем это утверждение:
   • Пусть \(Q\) — произвольная точка на прямой \(c\).
   • Пусть \(b_1\) — проекция прямой \(b\) на плоскость \(\alpha\).
   • Пусть \(M\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b_1\).
   • Пусть \(N\) — точка пересечения прямых \(p\) и \(b_1\).
7. Рассмотрим треугольник \(QMN\):
   • \(QM \perp b\) (по условию, так как \(a \perp b\)).
   • \(MN \perp QN\) (по условию, так как \(p \perp c\)).
8. Следовательно, \(QN \perp b\), что и требовалось доказать.

Таким образом, через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.