Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Через вершину \(B\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(BM\). Известно, что \(\angle MBA=\angle MBC=90^{\circ}\); \(MB=m\), \(AB=n\). Найдите расстояния от точки \(M\) до: а) вершин квадрата; б) прямых \(AC\) и \(BD\).
Ответ
а) \(MA=\sqrt{m^{2}+n^{2}}\), \(MB=m\), \(MC=\sqrt{m^{2}+n^{2}}\), \(MD=\sqrt{m^{2}+2n^{2}}\); б) \(\sqrt{m^{2}+\frac{1}{2}n^{2}}\), \(m\)
Решение № 44228:
Для решения задачи найдем расстояния от точки \(M\) до вершин квадрата и прямых \(AC\) и \(BD\). ### Часть а) Расстояния от точки \(M\) до вершин квадрата 1. **Определим координаты вершин квадрата:** - Пусть квадрат \(ABCD\) расположен в координатной плоскости таким образом, что: - \(A(0, 0)\) - \(B(n, 0)\) - \(C(n, n)\) - \(D(0, n)\) 2. **Определим координаты точки \(M\):** - Поскольку \(\angle MBA = \angle MBC = 90^\circ\), точка \(M\) лежит на перпендикуляре, проведенном к сторонам квадрата через точку \(B\). - Пусть \(M(n, m)\). 3. **Найдем расстояния от точки \(M\) до вершин квадрата:** - **Расстояние \(MA\):** \[ MA = \sqrt{(n - 0)^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{n^2 + m^2} \] - **Расстояние \(MB\):** \[ MB = m \quad \text{(по условию)} \] - **Расстояние \(MC\):** \[ MC = \sqrt{(n - n)^2 + (m - n)^2} = \sqrt{0 + (m - n)^2} = \sqrt{(m - n)^2} = |m - n| \] - **Расстояние \(MD\):** \[ MD = \sqrt{(n - 0)^2 + (m - n)^2} = \sqrt{n^2 + (m - n)^2} \] ### Часть б) Расстояния от точки \(M\) до прямых \(AC\) и \(BD\) 1. **Найдем расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\):** - Уравнение прямой \(AC\) (диагонали квадрата) имеет вид \(y = x\). - Расстояние от точки \(M(n, m)\) до прямой \(y = x\) можно найти по формуле расстояния от точки до прямой: \[ \text{Расстояние} = \frac{|n - m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|n - m|}{\sqrt{2}} \] 2. **Найдем расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\):** - Прямая \(BD\) (другая диагональ квадрата) имеет вид \(y = -x + n\). - Расстояние от точки \(M(n, m)\) до прямой \(y = -x + n\) можно найти по формуле расстояния от точки до прямой: \[ \text{Расстояние} = \frac{|n + m - n|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}} \] ### Итог: - Расстояния от точки \(M\) до вершин квадрата: - \(MA = \sqrt{n^2 + m^2}\) - \(MB = m\) - \(MC = |m - n|\) - \(MD = \sqrt{n^2 + (m - n)^2}\) - Расстояния от точки \(M\) до прямых \(AC\) и \(BD\): - Расстояние до \(AC\): \(\frac{|n - m|}{\sqrt{2}}\) - Расстояние до \(BD\): \(\frac{|m|}{\sqrt{2}}\) Ответ: