Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Прямая \(PQ\) параллельна плоскости \(\alpha\). Через точки \(P\) и \(Q\) проведены прямые, перпенликулярные к плоскости \(\alpha\), которые пересекают эту плоскость соответственно в точках \(P_{1}\) и \(Q_{1}\). Докажите, что \(PQ=P_{1}Q_{1}\).
Ответ
NaN
Решение № 44222:
Для решения задачи Прямая \(PQ\) параллельна плоскости \(\alpha\). Через точки \(P\) и \(Q\) проведены прямые, перпендикулярные к плоскости \(\alpha\), которые пересекают эту плоскость соответственно в точках \(P_{1}\) и \(Q_{1}\). Докажите, что \(PQ = P_{1}Q_{1}\) выполним следующие шаги:
- Рассмотрим прямую \(PQ\), которая параллельна плоскости \(\alpha\).
- Через точки \(P\) и \(Q\) проведены прямые, перпендикулярные к плоскости \(\alpha\). Обозначим эти прямые как \(PP_{1}\) и \(QQ_{1}\) соответственно.
- Прямые \(PP_{1}\) и \(QQ_{1}\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(P_{1}\) и \(Q_{1}\) соответственно.
- Так как \(PP_{1}\) и \(QQ_{1}\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\), они параллельны друг другу. Это следует из свойства перпендикулярных прямых к одной и той же плоскости.
- Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые \(PP_{1}\) и \(QQ_{1}\). Обозначим эту плоскость как \(\beta\).
- Плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой, содержащей точки \(P_{1}\) и \(Q_{1}\). Обозначим эту прямую как \(P_{1}Q_{1}\).
- Так как \(PQ\) параллельна плоскости \(\alpha\), и \(PQ\) находится в плоскости \(\beta\), то \(PQ\) параллельна прямой \(P_{1}Q_{1}\).
- Таким образом, четырехугольник \(PP_{1}Q_{1}Q\) является параллелограммом, так как его противоположные стороны \(PQ\) и \(P_{1}Q_{1}\) параллельны и равны по длине.
- Следовательно, \(PQ = P_{1}Q_{1}\).
Таким образом, мы доказали, что \(PQ = P_{1}Q_{1}\).
Ответ: \(PQ = P_{1}Q_{1}\)