Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая \(OA\) перпендикулярна к плоскости \(OBC\), и точка \(O\) является серединой отрезка \(AD\). Докажите, что: а)\(AB=DB\); б)\(AB=AC\), если \(OB=OC\); в)\(OB=OC\), если \(AB=AC\).

Ответ

NaN

Решение № 44217:

Для решения задачи, в которой прямая \(OA\) перпендикулярна к плоскости \(OBC\), и точка \(O\) является серединой отрезка \(AD\), докажем следующие утверждения: а) \(AB = DB\); б) \(AB = AC\), если \(OB = OC\); в) \(OB = OC\), если \(AB = AC\). ### а) Доказать, что \(AB = DB\):

1. Точка \(O\) является серединой отрезка \(AD\), следовательно, \(OA = OD\).
2. Прямая \(OA\) перпендикулярна к плоскости \(OBC\), следовательно, \(OA\) перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая \(OB\) и \(OC\).
3. Рассмотрим треугольники \(OAB\) и \(ODB\).
4. У этих треугольников:
   • \(OA = OD\) (по условию),
   • \(OB = OB\) (общая сторона),
   • \(\angle OAB = \angle ODB = 90^\circ\) (по условию перпендикулярности).
5. Треугольники \(OAB\) и \(ODB\) равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников).
6. Следовательно, \(AB = DB\).

### б) Доказать, что \(AB = AC\), если \(OB = OC\):

1. Точка \(O\) является серединой отрезка \(AD\), следовательно, \(OA = OD\).
2. Прямая \(OA\) перпендикулярна к плоскости \(OBC\), следовательно, \(OA\) перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая \(OB\) и \(OC\).
3. Рассмотрим треугольники \(OAB\) и \(OAC\).
4. У этих треугольников:
   • \(OA = OA\) (общая сторона),
   • \(OB = OC\) (по условию),
   • \(\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ\) (по условию перпендикулярности).
5. Треугольники \(OAB\) и \(OAC\) равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников).
6. Следовательно, \(AB = AC\).

### в) Доказать, что \(OB = OC\), если \(AB = AC\):

1. Точка \(O\) является серединой отрезка \(AD\), следовательно, \(OA = OD\).
2. Прямая \(OA\) перпендикулярна к плоскости \(OBC\), следовательно, \(OA\) перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая \(OB\) и \(OC\).
3. Рассмотрим треугольники \(OAB\) и \(OAC\).
4. У этих треугольников:
   • \(OA = OA\) (общая сторона),
   • \(AB = AC\) (по условию),
   • \(\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ\) (по условию перпендикулярности).
5. Треугольники \(OAB\) и \(OAC\) равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников).
6. Следовательно, \(OB = OC\).

Таким образом, мы доказали все три утверждения.