Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, перпендикулярность прямых и плоскостей, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Дан параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Докажите, что: а)\(DC \perp B_{1}C_{1}\) \(AB \perp A_{1}D_{1}\), если \(\angle BAD=90^{\circ}\); б) \(AB\perp CC_{1}\) и \( DD_{1}\perp A_{1}B_{1}\) , если \(AB\perp DD_{1}\).

Ответ

NaN

Решение № 44214:

Для решения задачи о параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) рассмотрим каждый из пунктов отдельно. ### а) Доказать, что \(DC \perp B_{1}C_{1}\) и \(AB \perp A_{1}D_{1}\), если \(\angle BAD=90^{\circ}\).

1. Рассмотрим параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).
2. Пусть \(\angle BAD=90^{\circ}\). Это означает, что угол между ребрами \(AB\) и \(AD\) равен \(90^{\circ}\).
3. Поскольку \(ABCD\) является основанием параллелепипеда, то \(AB \perp AD\) и \(DC \perp AB\).
4. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). В этом прямоугольнике \(DC \perp AB\) и \(AB \perp AD\).
5. Так как \(B_{1}C_{1}\) параллельно \(BC\), то \(B_{1}C_{1} \perp AD\).
6. Теперь рассмотрим прямоугольник \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). В этом прямоугольнике \(A_{1}D_{1} \perp A_{1}B_{1}\).
7. Поскольку \(AB \perp A_{1}B_{1}\), то \(AB \perp A_{1}D_{1}\).

### б) Доказать, что \(AB \perp CC_{1}\) и \(DD_{1} \perp A_{1}B_{1}\), если \(AB \perp DD_{1}\).

1. Рассмотрим параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).
2. Пусть \(AB \perp DD_{1}\).
3. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). В этом прямоугольнике \(AB \perp AD\) и \(AB \perp CD\).
4. Так как \(CC_{1} \parallel DD_{1}\), то \(AB \perp CC_{1}\).
5. Теперь рассмотрим прямоугольник \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). В этом прямоугольнике \(A_{1}B_{1} \perp A_{1}D_{1}\).
6. Поскольку \(DD_{1} \perp A_{1}D_{1}\), то \(DD_{1} \perp A_{1}B_{1}\).

Таким образом, мы доказали, что: - \(DC \perp B_{1}C_{1}\) и \(AB \perp A_{1}D_{1}\), если \(\angle BAD=90^{\circ}\). - \(AB \perp CC_{1}\) и \(DD_{1} \perp A_{1}B_{1}\), если \(AB \perp DD_{1}\). Ответ: Доказано.