Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости, скрещивающиеся прямые в пространстве,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Прямая \(m\) параллельна диагонали \(BD\) ромба \(ABCD\) и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а)\(m\) и \(AC\) - скрещивающиеся прямые - и найдите угол между ними; б)\(m\) и \(AD\) - скрещивающиеся прямые - и найдите угол между ними, если угол \(ABC\) равен \(128^{\circ}\).
Ответ
а) \(90^{\circ} \); б) \(64^{\circ} \)
Решение № 44128:
Для решения задачи о прямой \(m\), параллельной диагонали \(BD\) ромба \(ABCD\) и не лежащей в плоскости ромба, выполним следующие шаги:
- Запишем условие задачи:
- Прямая \(m\) параллельна диагонали \(BD\) ромба \(ABCD\).
- Прямая \(m\) не лежит в плоскости ромба.
- Докажем, что \(m\) и \(AC\) - скрещивающиеся прямые:
- Рассмотрим плоскость ромба \(ABCD\).
- Диагонали ромба \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делят друг друга пополам.
- Так как \(m \parallel BD\) и \(m\) не лежит в плоскости ромба, \(m\) и \(AC\) не могут лежать в одной плоскости, следовательно, они скрещивающиеся прямые.
- Найдем угол между \(m\) и \(AC\):
- Диагонали ромба перпендикулярны, то есть \(AC \perp BD\).
- Так как \(m \parallel BD\), то угол между \(m\) и \(AC\) равен \(90^\circ\).
- Докажем, что \(m\) и \(AD\) - скрещивающиеся прямые:
- Рассмотрим плоскость ромба \(ABCD\).
- Сторона \(AD\) и диагональ \(BD\) не параллельны и не пересекаются, так как \(AD\) и \(BD\) лежат в одной плоскости.
- Так как \(m \parallel BD\) и \(m\) не лежит в плоскости ромба, \(m\) и \(AD\) не могут лежать в одной плоскости, следовательно, они скрещивающиеся прямые.
- Найдем угол между \(m\) и \(AD\):
- Рассмотрим угол \(ABC = 128^\circ\).
- В ромбе противоположные углы равны, следовательно, угол \(ADC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ\).
- Так как \(m \parallel BD\), угол между \(m\) и \(AD\) равен углу между \(BD\) и \(AD\).
- Угол между \(BD\) и \(AD\) равен \(52^\circ\).
Таким образом, решение задачи:
- а) \(m\) и \(AC\) - скрещивающиеся прямые, угол между ними равен \(90^\circ\).
- б) \(m\) и \(AD\) - скрещивающиеся прямые, угол между ними равен \(52^\circ\).