Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основание \(AB\) трапеции \(ABCD\) параллельно плоскости \(\alpha\), а вершина \(C\) лежит в этой плоскости. Докажите, что : а) основание \(CD\) трапеции лежит в плоскости \(\alpha\); б) средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\).

Ответ

NaN

Решение № 44112:

Для решения задачи о трапеции \(ABCD\) с основанием \(AB\), параллельным плоскости \(\alpha\), и вершиной \(C\), лежащей в этой плоскости, выполним следующие шаги: ### Часть а: Доказать, что основание \(CD\) трапеции лежит в плоскости \(\alpha\)

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\). Пусть \(AB \parallel \alpha\) и \(C \in \alpha\).
2. Поскольку \(AB \parallel \alpha\), это означает, что \(AB\) параллельно некоторой прямой \(l\), лежащей в плоскости \(\alpha\).
3. Так как \(CD \parallel AB\) (по определению трапеции), то \(CD\) также параллельно прямой \(l\), лежащей в плоскости \(\alpha\).
4. Теперь у нас есть две параллельные прямые \(CD\) и \(l\), причем \(C \in \alpha\). По теореме о двух параллельных прямых, если одна из них лежит в плоскости, а другая имеет общую точку с этой плоскостью, то и вторая прямая лежит в этой плоскости.
5. Следовательно, \(CD\) лежит в плоскости \(\alpha\).

### Часть б: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\)

1. Средняя линия трапеции \(ABCD\) определяется как отрезок, соединяющий середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\).
2. Обозначим середины отрезков \(AD\) и \(BC\) как \(M\) и \(N\) соответственно.
3. Средняя линия \(MN\) параллельна основаниям \(AB\) и \(CD\) (по свойству трапеции).
4. Поскольку \(AB \parallel \alpha\) и \(CD \parallel \alpha\), средняя линия \(MN\), будучи параллельной \(AB\) и \(CD\), также параллельна плоскости \(\alpha\).
5. Таким образом, средняя линия \(MN\) параллельна плоскости \(\alpha\).

Таким образом, мы доказали, что: а) Основание \(CD\) трапеции лежит в плоскости \(\alpha\). б) Средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\). Ответ: Доказано.