Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\).
Ответ
NaN
Решение № 44104:
Для доказательства того, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\), выполним следующие шаги:
- Обозначим точки \(A\) и \(B\) в плоскости \(\alpha\) и точку \(C\) вне этой плоскости.
- Обозначим середины отрезков \(AC\) и \(BC\) как \(M\) и \(N\) соответственно. То есть:
\[
M = \frac{A + C}{2}, \quad N = \frac{B + C}{2}
\]
- Определим векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BN}\):
\[
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}}{2}
\]
\[
\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{2}
\]
- Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{MN}\):
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}}{2}
\]
- Заметим, что вектор \(\overrightarrow{MN}\) является половиной вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}
\]
- Поскольку точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), вектор \(\overrightarrow{AB}\) также лежит в плоскости \(\alpha\).
- Так как \(\overrightarrow{MN}\) является половиной \(\overrightarrow{AB}\), то \(\overrightarrow{MN}\) параллелен плоскости \(\alpha\).
- Следовательно, прямая, проходящая через точки \(M\) и \(N\), параллельна плоскости \(\alpha\).
Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\).