Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, классическое определение вероятностей,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
В круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, чтоэта точка лежит вне треугольника с вершинами \((0; 2)\), \((-2; -2)\), \((1; -2)\).
Ответ
\(\frac{19}{29}\).
Решение № 44004:
- Обозначим события:
- \( A \) — точка лежит вне треугольника с вершинами \((0; 2)\), \((-2; -2)\), \((1; -2)\).
- Определим множество всех возможных точек с целыми координатами в круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\):
\[ \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq \pi^2 \} \]
- Поскольку \(\pi \approx 3.14\), радиус круга примерно равен 3.14. Это означает, что точки с целыми координатами будут находиться в пределах круга с радиусом примерно 3.14. Мы рассмотрим точки с целыми координатами в пределах круга с радиусом 3, так как \(\pi\) немного больше 3.
- Определим все возможные точки с целыми координатами внутри круга радиуса 3:
\[
\begin{align*}
&(-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), \\
&(-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), \\
&(0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), \\
&(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \\
&(2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), \\
&(3, 0)
\end{align*}
\]
- Определим множество точек, лежащих внутри треугольника с вершинами \((0; 2)\), \((-2; -2)\), \((1; -2)\). Эти точки можно найти, решив систему неравенств, определяющих треугольник.
- Найдем точки, лежащие внутри треугольника:
\[
\begin{align*}
&(0, 2), (-1, 1), (-2, -2), (0, -2), (1, -2)
\end{align*}
\]
- Теперь найдем количество точек внутри треугольника:
\[ \text{Количество точек внутри треугольника} = 5 \]
- Найдем количество точек вне треугольника:
\[ \text{Количество точек вне треугольника} = \text{Общее количество точек} - \text{Количество точек внутри треугольника} \]
\[ \text{Количество точек вне треугольника} = 29 - 5 = 24 \]
- Найдем вероятность того, что точка лежит вне треугольника:
\[ P(A) = \frac{\text{Количество точек вне треугольника}}{\text{Общее количество точек}} \]
\[ P(A) = \frac{24}{29} \]
Ответ: \( \frac{24}{29} \)