Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, классическое определение вероятностей,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что сумма координат этой точки больше 3.

Ответ

\(\frac{1}{29}\).

Решение № 44001:

Для решения задачи найдем вероятность того, что сумма координат точки, случайно выбранной в круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\), больше 3.

1. Определим множество всех возможных точек с целыми координатами в круге радиусом \(\pi\).
• Круг с радиусом \(\pi\) (примерно 3.14) определяется уравнением \(x^2 + y^2 \leq \pi^2\).
• Найдем все целые точки \((x, y)\), удовлетворяющие этому уравнению.
2. Построим таблицу всех возможных точек:
   • \(x\) и \(y\) могут принимать значения от \(-3\) до \(3\), так как \(\pi \approx 3.14\).
   • Проверим каждую пару \((x, y)\), удовлетворяющую условию \(x^2 + y^2 \leq \pi^2\).
3. Найдем количество всех возможных точек:
   • Проверим каждую пару \((x, y)\) и подсчитаем их количество.
   • Пример: для \(x = 0\), \(y\) может быть \(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\).
   • Для \(x = \pm 1\), \(y\) может быть \(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\).
   • Для \(x = \pm 2\), \(y\) может быть \(0, \pm 1, \pm 2\).
   • Для \(x = \pm 3\), \(y\) может быть \(0, \pm 1\).
4. Подсчитаем количество точек, сумма координат которых больше 3:
   • Проверим каждую пару \((x, y)\) и подсчитаем их количество.
   • Пример: для \(x = 2\), \(y = 2\) сумма координат \(2 + 2 = 4 > 3\).
   • Проделаем аналогичные расчеты для всех точек.
5. Найдем вероятность:
   • Общее количество точек в круге.
   • Количество точек, сумма координат которых больше 3.
   • Вероятность \(P\) равна отношению количества точек, сумма координат которых больше 3, к общему количеству точек.

Теперь выполним вычисления пошагово:

1. Найдем все возможные точки в круге радиусом \(\pi\):
   • Для \(x = 0\): \(y = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) (7 точек).
   • Для \(x = \pm 1\): \(y = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) (7 точек для каждого \(x\), итого 14 точек).
   • Для \(x = \pm 2\): \(y = 0, \pm 1, \pm 2\) (5 точек для каждого \(x\), итого 10 точек).
   • Для \(x = \pm 3\): \(y = 0, \pm 1\) (3 точки для каждого \(x\), итого 6 точек).
2. Общее количество возможных точек:
   • \(7 + 14 + 10 + 6 = 37\) точек.
3. Найдем количество точек, сумма координат которых больше 3:
   • Для \(x = 1\): \(y = 3\) (1 точка).
   • Для \(x = 2\): \(y = 2, 3\) (2 точки).
   • Для \(x = 3\): \(y = 1, 2, 3\) (3 точки).
   • Для \(x = -1\): \(y = -3\) (1 точка).
   • Для \(x = -2\): \(y = -2, -3\) (2 точки).
   • Для \(x = -3\): \(y = -1, -2, -3\) (3 точки).
4. Общее количество точек, сумма координат которых больше 3:
   • \(1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 12\) точек.
5. Найдем вероятность:
   • Вероятность \(P\) равна \(\frac{12}{37}\).

Ответ: \(\frac{12}{37}\).