Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Комбинаторика,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В один день происходят выборы мэра города и префекта округа. На первую должность свои кандидатуры выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин, Юшкин, Яшкин. Как изменятся ответы в пунктах a) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?

Ответ

Эшкин будет в четырех вариантах

Решение № 43800:

Для решения задачи о выборах мэра города и префекта округа с учетом кандидата «против всех», рассмотрим два пункта: a) вероятность ничьей на обеих должностях и б) вероятность ничьи хотя бы на одной должности. ### Пункт a) Вероятность ничьи на обеих должностях

1. Определим количество кандидатов на каждую должность: - На должность мэра: Алкин, Балкин, Валкин и «против всех» (4 кандидата). - На должность префекта: Эшкин, Юшкин, Яшкин и «против всех» (4 кандидата).
2. Определим общее количество возможных исходов голосования для каждой должности: \[ 4! = 24 \text{ (для мэра)} \] \[ 4! = 24 \text{ (для префекта)} \]
3. Определим количество благоприятных исходов для ничьи на обеих должностях: - Для ничьи на должности мэра: 2 голоса за одного кандидата и 2 голоса за другого кандидата. \[ \binom{4}{2} = 6 \text{ (способов выбрать 2 кандидатов из 4)} \] - Для ничьи на должности префекта: 2 голоса за одного кандидата и 2 голоса за другого кандидата. \[ \binom{4}{2} = 6 \text{ (способов выбрать 2 кандидатов из 4)} \]
4. Общее количество благоприятных исходов для ничьи на обеих должностях: \[ 6 \times 6 = 36 \]
5. Вероятность ничьи на обеих должностях: \[ P(\text{ничья на обеих должностях}) = \frac{36}{24 \times 24} = \frac{36}{576} = \frac{1}{16} \]

### Пункт б) Вероятность ничьи хотя бы на одной должности

1. Определим вероятность ничьи на одной должности: - Для мэра: \[ P(\text{ничья на должности мэра}) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \] - Для префекта: \[ P(\text{ничья на должности префекта}) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \]
2. Определим вероятность ничьи на обеих должностях (см. пункт a): \[ P(\text{ничья на обеих должностях}) = \frac{1}{16} \]
3. Вероятность ничьи хотя бы на одной должности: \[ P(\text{ничья хотя бы на одной должности}) = P(\text{ничья на должности мэра}) + P(\text{ничья на должности префекта}) - P(\text{ничья на обеих должностях}) \] \[ P(\text{ничья хотя бы на одной должности}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16} \]

Таким образом, ответы на задачу с учетом кандидата «против всех»: - Вероятность ничьи на обеих должностях: \(\frac{1}{16}\) - Вероятность ничьи хотя бы на одной должности: \(\frac{7}{16}\)