Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Комбинаторика,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В каждую клетку квадратной таблицы \(3x3\) произвольно ставят крестик или нолик. В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

Ответ

16

Решение № 43795:

Для решения задачи о количестве случаев, когда по диагоналям квадратной таблицы \(3 \times 3\) будут стоять одни нолики, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим две диагонали таблицы \(3 \times 3\): главную диагональ и побочную диагональ.
2. Главная диагональ включает клетки: (1,1), (2,2), (3,3).
3. Побочная диагональ включает клетки: (1,3), (2,2), (3,1).
4. Общая клетка для обеих диагоналей: (2,2).
5. Рассмотрим случай, когда все три клетки главной диагонали заняты ноликами:
1. В клетке (1,1) стоит нолик.
2. В клетке (2,2) стоит нолик.
3. В клетке (3,3) стоит нолик.
6. Остальные 6 клеток могут быть заполнены произвольно (крестиками или ноликами).
7. Количество способов заполнить оставшиеся 6 клеток: \(2^6 = 64\).
8. Рассмотрим случай, когда все три клетки побочной диагонали заняты ноликами:
1. В клетке (1,3) стоит нолик.
2. В клетке (2,2) стоит нолик.
3. В клетке (3,1) стоит нолик.
9. Остальные 6 клеток могут быть заполнены произвольно (крестиками или ноликами).
10. Количество способов заполнить оставшиеся 6 клеток: \(2^6 = 64\).
11. Рассмотрим случай, когда все четыре клетки обеих диагоналей заняты ноликами:
1. В клетке (1,1) стоит нолик.
2. В клетке (2,2) стоит нолик.
3. В клетке (3,3) стоит нолик.
4. В клетке (1,3) стоит нолик.
5. В клетке (3,1) стоит нолик.
12. Остальные 4 клетки могут быть заполнены произвольно (крестиками или ноликами).
13. Количество способов заполнить оставшиеся 4 клетки: \(2^4 = 16\).
14. Применим принцип включения-исключения для подсчета общего количества способов:
1. Способы для главной диагонали: 64.
2. Способы для побочной диагонали: 64.
3. Способы для обеих диагоналей одновременно: 16.
4. Общее количество способов: \(64 + 64 - 16 = 112\).

Таким образом, количество случаев, когда по диагоналям будут стоять одни нолики, равно 112. Ответ: 112