Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Комбинаторика,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на \(90\)?

Ответ

90

Решение № 43784:

Для решения задачи определим, сколько существует трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на \(90\).

1. Пусть трехзначное число имеет вид \(ABC\), где \(A\), \(B\) и \(C\) — цифры числа. Тогда число можно записать как \(100A + 10B + C\).
2. При перемене местами первой и второй цифр число принимает вид \(BAC\), что можно записать как \(100B + 10A + C\).
3. Рассмотрим разницу между этими двумя числами: \[ |(100A + 10B + C) - (100B + 10A + C)| < 90 \]
4. Упростим выражение: \[ |90A - 90B| < 90 \]
5. Разделим обе части неравенства на 90: \[ |A - B| < 1 \]
6. Неравенство \(|A - B| < 1\) означает, что \(A\) и \(B\) могут различаться не более чем на 1. Таким образом, \(A\) и \(B\) могут быть равны или различаться на 1.
7. Так как \(A\) и \(B\) — цифры, то \(A\) может быть равно \(B\) или отличаться от \(B\) на 1. Рассмотрим два случая:
8. Случай 1: \(A = B\). В этом случае число имеет вид \(AAx\), где \(x\) — любая цифра от 0 до 9. Таких чисел \(9 \times 10 = 90\) (поскольку \(A\) может быть от 1 до 9).
9. Случай 2: \(|A - B| = 1\). В этом случае \(A\) и \(B\) могут быть соседними цифрами. Рассмотрим пары \((A, B)\): \[ (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9) \] Каждая пара может быть использована в двух вариантах: \((A, B)\) и \((B, A)\). Таким образом, у нас есть \(8 \times 2 = 16\) пар.
10. Для каждой из этих 16 пар цифра \(C\) может быть любой из 10 возможных значений (от 0 до 9). Таким образом, количество чисел для этого случая: \[ 16 \times 10 = 160 \]
11. Общее количество трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90, равно сумме чисел из обоих случаев: \[ 90 + 160 = 250 \]

Таким образом, количество трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90, равно \(250\). Ответ: \(250\)